Cálculo de una primitiva con condición inicial

Nos piden hallar la primitiva $F(x) = \int f(x) \, dx$ que cumpla la condición $F(2) = 3 \ln 2$. La función es una función racional: $$f(x) = \frac{-x^3 + 2x - 3}{x^2 - x}$$ Como el grado del numerador (3) es mayor que el grado del denominador (2), el primer paso es realizar la **división polinómica** para descomponer la fracción. Dividimos $-x^3 + 2x - 3$ entre $x^2 - x$: 1. Multiplicamos el divisor por $-x$: $-x(x^2 - x) = -x^3 + x^2$. Restamos: $(-x^3 + 2x - 3) - (-x^3 + x^2) = -x^2 + 2x - 3$. 2. Multiplicamos el divisor por $-1$: $-1(x^2 - x) = -x^2 + x$. Restamos: $(-x^2 + 2x - 3) - (-x^2 + x) = x - 3$. Obtenemos el cociente $Q(x) = -x - 1$ y el resto $R(x) = x - 3$. Por tanto, podemos expresar la función como: $$f(x) = -x - 1 + \frac{x - 3}{x^2 - x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar funciones racionales donde $\text{grado}(P) \ge \text{grado}(Q)$, siempre debemos realizar primero la división: $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

Ahora descomponemos la fracción propia $\frac{x - 3}{x^2 - x}$ en fracciones simples. Primero factorizamos el denominador: $$x^2 - x = x(x - 1)$$ La descomposición será de la forma: $$\frac{x - 3}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores: $$x - 3 = A(x - 1) + Bx$$ - Si $x = 0 \implies 0 - 3 = A(0 - 1) \implies -3 = -A \implies \mathbf{A = 3}$ - Si $x = 1 \implies 1 - 3 = B(1) \implies -2 = B \implies \mathbf{B = -2}$ Sustituyendo estos valores, la función queda: $$f(x) = -x - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x - 1}$$

Calculamos la integral indefinida de la función descompuesta: $$F(x) = \int \left( -x - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x - 1} \right) dx$$ Aplicamos la linealidad de la integral: $$F(x) = -\int x \, dx - \int 1 \, dx + 3 \int \frac{1}{x} \, dx - 2 \int \frac{1}{x - 1} \, dx$$ Integrando cada término obtenemos la familia de primitivas: $$F(x) = -\frac{x^2}{2} - x + 3 \ln|x| - 2 \ln|x - 1| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$.

Para hallar la primitiva específica que pasa por el punto $(2, 3 \ln 2)$, imponemos la condición $F(2) = 3 \ln 2$: $$F(2) = -\frac{2^2}{2} - 2 + 3 \ln|2| - 2 \ln|2 - 1| + C = 3 \ln 2$$ Operamos los valores: $$-2 - 2 + 3 \ln 2 - 2 \ln(1) + C = 3 \ln 2$$ Como $\ln(1) = 0$: $$-4 + 3 \ln 2 + C = 3 \ln 2$$ Despejamos $C$: $$C = 3 \ln 2 - 3 \ln 2 + 4 \implies \mathbf{C = 4}$$ La constante de integración para esta primitiva concreta es **4**.

Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de $F(x)$. Dado que el punto de paso tiene $x=2$, trabajamos en el intervalo $(1, +\infty)$, por lo que podemos prescindir de los valores absolutos si lo deseamos, aunque es más correcto mantenerlos o especificar el dominio. La primitiva buscada es: $$\boxed{F(x) = -\frac{x^2}{2} - x + 3 \ln|x| - 2 \ln|x - 1| + 4}$$ Podemos agrupar los logaritmos usando sus propiedades: $$F(x) = -\frac{x^2}{2} - x + \ln\left|\frac{x^3}{(x - 1)^2}\right| + 4$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{-x^3 + 2x - 3}{x^2 - x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "F", "latex": "F(x) = -x^2/2 - x + 3\\ln|x| - 2\\ln|x-1| + 4", "color": "#ef4444" }, { "id": "P", "latex": "(2, 3\\ln(2))", "color": "#111827", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -5, "right": 5, "bottom": -10, "top": 10 } } }