Límite con parámetros y regla de L'Hôpital

**Calcula $a$ sabiendo que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1-x)} - \frac{ax - 1}{x} \right) = \frac{7}{2}$** En primer lugar, analizamos el comportamiento del límite cuando $x \to 0$. Observamos que el primer término $\frac{1}{\ln(1-x)}$ tiende a $\infty$ (ya que $\ln(1)=0$) y el segundo término $\frac{ax-1}{x}$ tiende a $\infty$ (ya que $\frac{-1}{0} \to \infty$). Estamos ante una indeterminación del tipo $\infty - \infty$. Para resolverla, agrupamos ambas expresiones en una única fracción buscando el común denominador: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{x - (ax - 1)\ln(1-x)}{x \ln(1-x)} \right) = \frac{7}{2}$$ Si evaluamos ahora en $x = 0$: - Numerador: $0 - (a\cdot 0 - 1)\ln(1) = 0 - (-1) \cdot 0 = 0$. - Denominador: $0 \cdot \ln(1) = 0$. Obtenemos la indeterminación **$\frac{0}{0}$**, por lo que podemos aplicar la regla de L'Hôpital. 💡 **Tip:** Ante una indeterminación $\infty - \infty$ con fracciones, el primer paso suele ser operar para obtener una sola fracción y poder aplicar L'Hôpital.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando el numerador y el denominador de forma independiente: Sean $f(x) = x - (ax-1)\ln(1-x)$ y $g(x) = x\ln(1-x)$. Calculamos sus derivadas: - $f'(x) = 1 - \left[ a \ln(1-x) + (ax-1) \frac{-1}{1-x} \right] = 1 - a \ln(1-x) + \frac{ax-1}{1-x}$ - $g'(x) = 1 \cdot \ln(1-x) + x \frac{-1}{1-x} = \ln(1-x) - \frac{x}{1-x}$ El límite se convierte en: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - a \ln(1-x) + \frac{ax-1}{1-x}}{\ln(1-x) - \frac{x}{1-x}}$$ Volvemos a evaluar en $x = 0$: - Numerador: $1 - a \ln(1) + \frac{a(0)-1}{1-0} = 1 - 0 - 1 = 0$. - Denominador: $\ln(1) - \frac{0}{1} = 0 - 0 = 0$. Como persiste la indeterminación **$\frac{0}{0}$**, aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez. 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y para un cociente $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Derivamos nuevamente las funciones del numerador y denominador: Calculamos $f''(x)$: $$f''(x) = -a \frac{-1}{1-x} + \frac{a(1-x) - (ax-1)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{a}{1-x} + \frac{a - ax + ax - 1}{(1-x)^2} = \frac{a}{1-x} + \frac{a - 1}{(1-x)^2}$$ Calculamos $g''(x)$: $$g''(x) = \frac{-1}{1-x} - \frac{1(1-x) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{-1}{1-x} - \frac{1 - x + x}{(1-x)^2} = \frac{-1}{1-x} - \frac{1}{(1-x)^2}$$ Sustituimos $x = 0$ en las segundas derivadas: - $f''(0) = \frac{a}{1} + \frac{a-1}{1^2} = a + a - 1 = 2a - 1$ - $g''(0) = \frac{-1}{1} - \frac{1}{1^2} = -1 - 1 = -2$ Por tanto, el valor del límite es: $$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{2a - 1}{-2}$$ Como el enunciado nos dice que el límite es igual a $\frac{7}{2}$, igualamos: $$\frac{2a - 1}{-2} = \frac{7}{2}$$ $$2a - 1 = -7 \implies 2a = -6 \implies a = -3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -3}$$ 💡 **Tip:** Siempre que apliques L'Hôpital, asegúrate de comprobar que la indeterminación sea efectivamente $0/0$ o $\infty/\infty$ en cada paso.