Estudio de función, asíntotas e integración

**a) El dominio de la función $h$. Los límites $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ y $\lim_{x \to 0} h(x)$. (1 + 2 puntos)** La función $h(x) = \frac{x^3+x^2+5x-3}{x^2+2x+5}$ es una función racional. Su dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x^2+2x+5=0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}$$ Como el discriminante es negativo ($-16 \lt 0$), la ecuación no tiene soluciones reales. Esto significa que el denominador nunca se anula. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional son todos los reales menos las raíces del denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(h) = \mathbb{R}}$$

Calculamos primero el límite en el infinito: $$\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+x^2+5x-3}{x^2+2x+5}$$ Como el grado del numerador (3) es mayor que el grado del denominador (2), el límite es infinito. Para determinar el signo, observamos los coeficientes principales (ambos positivos): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$$ Ahora calculamos el límite cuando $x$ tiende a $0$ sustituyendo directamente en la función: $$\lim_{x \to 0} h(x) = \frac{0^3+0^2+5(0)-3}{0^2+2(0)+5} = \frac{-3}{5}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 0} h(x) = -\frac{3}{5}}$$

**b) La asíntota de la curva $y = h(x)$. (2 puntos)** Dado que el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador y no hay asíntotas verticales (el denominador no se anula), buscamos una **asíntota oblicua** de la forma $y = mx + n$. Podemos obtenerla mediante la división polinómica de $x^3+x^2+5x-3$ entre $x^2+2x+5$: $$\begin{array}{r|l} x^3+x^2+5x-3 & x^2+2x+5 \\ \hline -(x^3+2x^2+5x) & x-1 \\ \cline{1-1} -x^2+0x-3 & \\ -(-x^2-2x-5) & \\ \cline{1-1} 2x+2 & \end{array}$$ El cociente es $x-1$ y el resto es $2x+2$. Por tanto, podemos expresar la función como: $$h(x) = (x-1) + \frac{2x+2}{x^2+2x+5}$$ Cuando $x \to \pm\infty$, el término $\frac{2x+2}{x^2+2x+5}$ tiende a $0$, por lo que la función se aproxima a la recta del cociente. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es $n$ y el del denominador es $n-1$, existe una asíntota oblicua que coincide con el cociente de la división. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota oblicua: } y = x - 1}$$

**c) La primitiva de la función $h$ (es decir, $\int h(x) dx$) y el área de la superficie encerrada entre las rectas $y = 0, x = 1, x = 5$ y la curva $y = h(x)$. (3 + 2 puntos)** Usando la descomposición obtenida en el paso anterior: $$\int h(x) \, dx = \int \left( x - 1 + \frac{2x+2}{x^2+2x+5} \right) \, dx$$ Integramos término a término: 1. $\int (x-1) \, dx = \frac{x^2}{2} - x$ 2. Para $\int \frac{2x+2}{x^2+2x+5} \, dx$, observamos que la derivada del denominador es precisamente el numerador: $(x^2+2x+5)' = 2x+2$. Por la regla de la cadena para logaritmos: $$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C$$ Entonces: $$\int \frac{2x+2}{x^2+2x+5} \, dx = \ln(x^2+2x+5)$$ (No es necesario el valor absoluto porque ya vimos que $x^2+2x+5 \gt 0$ para todo $x$). ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{H(x) = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x^2+2x+5) + C}$$

El área solicitada es $A = \int_{1}^{5} |h(x)| \, dx$. Debemos comprobar si $h(x)$ cambia de signo en el intervalo $[1, 5]$. En este intervalo, el denominador siempre es positivo. Para el numerador $x^3+x^2+5x-3$, evaluamos en $x=1$: $h(1) = 1+1+5-3 = 4 \gt 0$. Al ser una función creciente en ese tramo (o simplemente comprobando que no tiene raíces en ese intervalo), $h(x) \gt 0$ para $x \in [1, 5]$. Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \int_{1}^{5} h(x) \, dx = [H(x)]_1^5 = \left( \frac{5^2}{2} - 5 + \ln(5^2+2(5)+5) \right) - \left( \frac{1^2}{2} - 1 + \ln(1^2+2(1)+5) \right)$$ $$A = \left( \frac{25}{2} - 5 + \ln(40) \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 + \ln(8) \right)$$ $$A = (12.5 - 5 + \ln(40)) - (0.5 - 1 + \ln(8)) = 7.5 + \ln(40) - (-0.5) - \ln(8)$$ $$A = 7.5 + 0.5 + \ln(40) - \ln(8) = 8 + \ln\left(\frac{40}{8}\right) = 8 + \ln(5)$$ 💡 **Tip:** El área bajo una función positiva se calcula directamente con la integral definida. Si hay partes negativas, se usa el valor absoluto. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = 8 + \ln(5) \approx 9.609 \text{ unidades de área}}$$