Geometría en el Espacio: Distancia, Área y Volumen

**a) La distancia del punto $P$ al plano $\pi$. (3 puntos)** Para calcular la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$, utilizamos la fórmula general: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, el punto es $P = (10, 0, 10)$ y la ecuación del plano es $2x + y + 2z - 8 = 0$. Sustituimos los valores: $$d(P, \pi) = \frac{|2(10) + 1(0) + 2(10) - 8|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}$$ $$d(P, \pi) = \frac{|20 + 0 + 20 - 8|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|32|}{\sqrt{9}} = \frac{32}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre debe ser un valor positivo, por eso se utiliza el valor absoluto en el numerador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, \pi) = \frac{32}{3} \text{ unidades}}$$

**b) El área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A, B$ y $C$, obtenidos al hallar la intersección del plano $\pi$ con los ejes de coordenadas. (4 puntos)** Primero, calculamos las coordenadas de los puntos $A, B$ y $C$ intersectando $\pi: 2x + y + 2z = 8$ con cada eje: 1. **Punto $A$ (Eje X):** Hacemos $y = 0$ y $z = 0$. $$2x + 0 + 2(0) = 8 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \implies \mathbf{A(4, 0, 0)}$$ 2. **Punto $B$ (Eje Y):** Hacemos $x = 0$ y $z = 0$. $$2(0) + y + 2(0) = 8 \implies y = 8 \implies \mathbf{B(0, 8, 0)}$$ 3. **Punto $C$ (Eje Z):** Hacemos $x = 0$ y $y = 0$. $$2(0) + 0 + 2z = 8 \implies 2z = 8 \implies z = 4 \implies \mathbf{C(0, 0, 4)}$$

Para hallar el área del triángulo $ABC$, utilizamos el producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (0-4, 8-0, 0-0) = (-4, 8, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-4, 0-0, 4-0) = (-4, 0, 4)$$ El área es la mitad del módulo del producto vectorial: $$Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 8 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(32 - 0) - \vec{j}(-16 - 0) + \vec{k}(0 - (-32)) = 32\vec{i} + 16\vec{j} + 32\vec{k}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (32, 16, 32)$$ Ahora calculamos su módulo: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{32^2 + 16^2 + 32^2} = \sqrt{1024 + 256 + 1024} = \sqrt{2304} = 48$$ El área es: $$Area = \frac{48}{2} = 24$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = 24 \text{ unidades}^2}$$

**c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son $P, A, B$ y $C$. (3 puntos)** Podemos calcular el volumen de un tetraedro de dos formas. La más directa en este caso es usar la relación con el área de la base y la altura: $$V = \frac{1}{3} \cdot Area_{base} \cdot Altura$$ Donde: - La base es el triángulo $ABC$, cuya área ya calculamos: $Area = 24$. - La altura es la distancia del punto $P$ al plano que contiene a $A, B$ y $C$ (el plano $\pi$), calculada en el apartado a): $h = \frac{32}{3}$. Sustituimos: $$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \frac{32}{3} = \frac{8 \cdot 32}{3} = \frac{256}{3}$$ 💡 **Tip:** También se podría calcular mediante el producto mixto: $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}]|$. Calculamos $\vec{AP} = P - A = (10-4, 0-0, 10-0) = (6, 0, 10)$. $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}] = \begin{vmatrix} -4 & 8 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \\ 6 & 0 & 10 \end{vmatrix} = 0 - 8(-40 - 24) + 0 = -8(-64) = 512$$ $$V = \frac{1}{6} |512| = \frac{256}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = \frac{256}{3} \text{ unidades}^3}$$