Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Los valores de $\alpha$ para los que el sistema es compatible y determinado. (4 puntos)** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 3 & \alpha \\ 1 & -2 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & 5 & \alpha + 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 5 \end{vmatrix} = [2 \cdot (-2) \cdot 5 + 0 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 \cdot (-1)] - [3 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 2 + 5 \cdot 1 \cdot 0]$$ $$|A| = [-20 + 0 - 3] - [-18 - 4 + 0] = -23 - (-22) = -1$$ 💡 **Tip:** Un sistema cuadrado es compatible determinado si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$).

Como el determinante $|A| = -1$, que es distinto de cero para cualquier valor de $\alpha \in \mathbb{R}$, podemos afirmar que: 1. El rango de la matriz $A$ es 3: $\text{rg}(A) = 3$. 2. El rango de la matriz ampliada $A^*$ también es 3: $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que contiene a $A$ y el máximo rango posible es el número de filas). 3. El número de incógnitas es $n = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es compatible determinado para cualquier valor de } \alpha \in \mathbb{R}}$$

**b) La solución del sistema cuando $\alpha = -1$. (3 puntos)** Sustituimos $\alpha = -1$ en el sistema: $$\begin{cases} 2x + 3z = -1 \\ x - 2y + 2z = 5 \\ 3x - y + 5z = 0 \end{cases}$$ Como sabemos que $|A| = -1$, aplicamos la **Regla de Cramer**: $x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 5 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{[10 + 0 - 15] - [0 + 2 + 0]}{-1} = \frac{-7}{-1} = 7$ $y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 5 & 2 \\ 3 & 0 & 5 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{[50 - 6 + 0] - [45 + 0 - 5]}{-1} = \frac{44 - 40}{-1} = -4$ $z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 5 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix}}{-1} = \frac{[0 + 0 + 1] - [6 - 10 + 0]}{-1} = \frac{1 - (-4)}{-1} = -5$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (7, -4, -5)}$$

**c) El valor de $\alpha$ para que el sistema tenga una solución $(x, y, z)$ que verifique $x + y + z = 0$. (3 puntos)** Podemos resolver este apartado de dos formas. La más directa es añadir la condición $x+y+z=0$ como una cuarta ecuación y resolver el sistema resultante, o expresar $x, y, z$ en función de $\alpha$ usando Cramer y aplicar la condición. Calculamos los determinantes en función de $\alpha$: $|A_x| = \begin{vmatrix} \alpha & 0 & 3 \\ 5 & -2 & 2 \\ \alpha+1 & -1 & 5 \end{vmatrix} = (-10\alpha - 15) - (-6(\alpha+1) - 2\alpha) = -10\alpha - 15 + 8\alpha + 6 = -2\alpha - 9 \implies x = 2\alpha + 9$ $|A_y| = \begin{vmatrix} 2 & \alpha & 3 \\ 1 & 5 & 2 \\ 3 & \alpha+1 & 5 \end{vmatrix} = (50 + 6\alpha + 3\alpha + 3) - (45 + 4\alpha + 4 + 5\alpha) = 9\alpha + 53 - 9\alpha - 49 = 4 \implies y = -4$ $|A_z| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 5 \\ 3 & -1 & \alpha+1 \end{vmatrix} = (-4\alpha - 4 - \alpha) - (-6\alpha - 10) = \alpha + 6 \implies z = -\alpha - 6$ Sustituimos en $x + y + z = 0$: $$(2\alpha + 9) + (-4) + (-\alpha - 6) = 0$$ $$\alpha - 1 = 0 \implies \alpha = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 1}$$