Optimización de la distancia entre dos móviles en movimiento rectilíneo

**a) La distancia $f(t)$ entre los móviles A y B durante el desplazamiento, en función del tiempo $t$ en horas desde que comenzaron a desplazarse.** Para hallar la distancia, primero determinamos las coordenadas de cada móvil en un instante $t$ (en horas): 1. **Móvil A:** Parte de $(0, 0)$ y se mueve por el eje $OY$ (hacia arriba) a una velocidad constante de $30 \text{ km/h}$. Su posición es: $$P_A(t) = (0, 30t)$$ 2. **Móvil B:** Parte de $(250, 0)$ y se mueve por el eje $OX$ hacia el origen (hacia la izquierda) a una velocidad de $40 \text{ km/h}$. Su posición es: $$P_B(t) = (250 - 40t, 0)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la posición en un movimiento rectilíneo uniforme viene dada por $s = s_0 + v \cdot t$. En el móvil B, la velocidad es negativa respecto al sentido del eje $OX$ porque se acerca al origen.

La distancia entre dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ se calcula con la fórmula: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Aplicándola a $P_A(t)$ y $P_B(t)$: $$f(t) = \sqrt{(250 - 40t - 0)^2 + (0 - 30t)^2}$$ $$f(t) = \sqrt{(250 - 40t)^2 + (-30t)^2}$$ Desarrollamos el binomio y el cuadrado: $$f(t) = \sqrt{62500 - 20000t + 1600t^2 + 900t^2}$$ $$f(t) = \sqrt{2500t^2 - 20000t + 62500}$$ Podemos simplificar sacando factor común $2500$ dentro de la raíz: $$f(t) = \sqrt{2500(t^2 - 8t + 25)} = 50\sqrt{t^2 - 8t + 25}$$ ✅ **Resultado (función distancia):** $$\boxed{f(t) = 50\sqrt{t^2 - 8t + 25}}$$

**b) El tiempo T que tardan los móviles en desplazarse desde su posición inicial a su posición final, y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$ a lo largo del trayecto.** El tiempo $T$ es el tiempo que tardan ambos en completar su recorrido: - El móvil A llega a $(0, 375/2 = 187.5)$: $$30t = 187.5 \implies t = \frac{187.5}{30} = 6.25 \text{ horas}$$ - El móvil B llega al origen $(0, 0)$ desde $(250, 0)$: $$250 - 40t = 0 \implies t = \frac{250}{40} = 6.25 \text{ horas}$$ Ambos móviles tardan el mismo tiempo, por lo que el trayecto dura desde $t=0$ hasta $t=6.25$. ✅ **Resultado (Tiempo T):** $$\boxed{T = 6.25 \text{ h} = \frac{25}{4} \text{ h}}$$

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada $f'(t)$ en el intervalo $t \in [0, 6.25]$: $$f(t) = 50(t^2 - 8t + 25)^{1/2}$$ $$f'(t) = 50 \cdot \frac{1}{2}(t^2 - 8t + 25)^{-1/2} \cdot (2t - 8)$$ $$f'(t) = \frac{50(t - 4)}{\sqrt{t^2 - 8t + 25}}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(t) = 0$: $$50(t - 4) = 0 \implies t = 4$$ Analizamos el signo de $f'(t)$ en el intervalo del movimiento $[0, 6.25]$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 4) & 4 & (4, 6.25)\\\hline f'(t) & - & 0 & +\\ f(t) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 4)$, $f'(t) \lt 0$, por lo que **la función es decreciente**. - En el intervalo $(4, 6.25)$, $f'(t) \gt 0$, por lo que **la función es creciente**. 💡 **Tip:** El denominador de $f'(t)$ es una raíz cuadrada, que siempre es positiva en su dominio. Por tanto, el signo de $f'(t)$ solo depende del numerador $(t-4)$.

**c) Los valores de $t$ para los que la distancia de los móviles es máxima y mínima durante su desplazamiento y dichas distancias máxima y mínima.** Evaluamos la función $f(t)$ en los extremos del intervalo $[0, 6.25]$ y en el punto crítico $t=4$: 1. En **$t = 0$** (inicio): $$f(0) = 50\sqrt{0^2 - 8(0) + 25} = 50 \cdot 5 = 250 \text{ km}$$ 2. En **$t = 4$** (mínimo relativo): $$f(4) = 50\sqrt{4^2 - 8(4) + 25} = 50\sqrt{16 - 32 + 25} = 50\sqrt{9} = 150 \text{ km}$$ 3. En **$t = 6.25 = 25/4$** (final): $$f(6.25) = 50\sqrt{\left(\frac{25}{4}\right)^2 - 8\left(\frac{25}{4}\right) + 25} = 50\sqrt{\frac{625}{16} - 50 + 25}$$ $$f(6.25) = 50\sqrt{\frac{625}{16} - 25} = 50\sqrt{\frac{625 - 400}{16}} = 50\sqrt{\frac{225}{16}} = 50 \cdot \frac{15}{4} = 187.5 \text{ km}$$ Comparando los valores: - La **distancia mínima** es de **$150 \text{ km}$** y ocurre a las **$4 \text{ horas}$**. - La **distancia máxima** es de **$250 \text{ km}$** y ocurre en el instante inicial **$t = 0 \text{ horas}$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 250 \text{ km en } t = 0 \text{ h} \quad \text{Mínimo: } 150 \text{ km en } t = 4 \text{ h}}$$