Planos paralelos, puntos de corte con los ejes y volumen del tetraedro

**a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a $\pi$ que distan 4 unidades de $\pi$. (4 puntos)** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales. Dado el plano $\pi: 9x + 12y + 20z - 180 = 0$, cualquier plano $\pi'$ paralelo a él tendrá la forma: $$\pi': 9x + 12y + 20z + D = 0$$ La distancia entre dos planos paralelos $\pi_1: Ax+By+Cz+D_1=0$ y $\pi_2: Ax+By+Cz+D_2=0$ viene dada por la fórmula: $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, $A=9, B=12, C=20, D_1=-180$ y queremos que $d=4$. 💡 **Tip:** Recuerda que para usar esta fórmula, los coeficientes $A, B$ y $C$ deben ser idénticos en ambas ecuaciones.

Primero calculamos el módulo del vector normal $\vec{n} = (9, 12, 20)$: $$|\vec{n}| = \sqrt{9^2 + 12^2 + 20^2} = \sqrt{81 + 144 + 400} = \sqrt{625} = 25$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$4 = \frac{|D - (-180)|}{25} \implies 4 \cdot 25 = |D + 180| \implies 100 = |D + 180|$$ Esto nos genera dos posibles soluciones para la ecuación con valor absoluto: 1. $D + 180 = 100 \implies D_a = -80$ 2. $D + 180 = -100 \implies D_b = -280$ Sustituyendo estos valores en la ecuación general del plano paralelo, obtenemos los dos planos buscados: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi_1: 9x + 12y + 20z - 80 = 0 \quad \text{y} \quad \pi_2: 9x + 12y + 20z - 280 = 0}$$

**b) Los puntos $A, B$ y $C$ intersección del plano $\pi$ con los ejes OX, OY y OZ y el ángulo que forman los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. (4 puntos)** Para hallar la intersección con los ejes, anulamos las coordenadas correspondientes: - **Punto A (Eje OX):** Hacemos $y=0, z=0$ en $9x + 12y + 20z = 180$. $$9x = 180 \implies x = 20 \implies \mathbf{A(20, 0, 0)}$$ - **Punto B (Eje OY):** Hacemos $x=0, z=0$. $$12y = 180 \implies y = 15 \implies \mathbf{B(0, 15, 0)}$$ - **Punto C (Eje OZ):** Hacemos $x=0, y=0$. $$20z = 180 \implies z = 9 \implies \mathbf{C(0, 0, 9)}$$ 💡 **Tip:** Los puntos en los ejes coordenados siempre tienen dos de sus tres coordenadas iguales a cero.

Calculamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ a partir de los puntos obtenidos: $$\vec{AB} = B - A = (0-20, 15-0, 0-0) = (-20, 15, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-20, 0-0, 9-0) = (-20, 0, 9)$$ Ahora calculamos sus módulos: $$|\vec{AB}| = \sqrt{(-20)^2 + 15^2 + 0^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$$ $$|\vec{AC}| = \sqrt{(-20)^2 + 0^2 + 9^2} = \sqrt{400 + 81} = \sqrt{481}$$

Utilizamos la definición de producto escalar para hallar el ángulo $\alpha$: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$$ $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-20)(-20) + (15)(0) + (0)(9) = 400$$ Sustituimos: $$\cos(\alpha) = \frac{400}{25 \cdot \sqrt{481}} = \frac{16}{\sqrt{481}}$$ $$\alpha = \arccos\left(\frac{16}{\sqrt{481}}\right) \approx 43.04^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(20,0,0), B(0,15,0), C(0,0,9) \text{ y } \alpha \approx 43.04^\circ}$$

**c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen O de coordenadas y los puntos $A, B$ y $C$. (2 puntos)** El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen y los otros tres en los puntos $A, B$ y $C$ es un sexto del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{OA}, \vec{OB}$ y $\vec{OC}$: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]|$$ Los vectores son $\vec{OA}=(20,0,0)$, $\vec{OB}=(0,15,0)$ y $\vec{OC}=(0,0,9)$. El determinante es: $$\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 20 & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{vmatrix} = 20 \cdot 15 \cdot 9 = 2700$$ Entonces: $$V = \frac{1}{6} \cdot 2700 = 450 \text{ u}^3$$ 💡 **Tip:** En este caso particular, como los vectores son perpendiculares entre sí (están sobre los ejes), el volumen es simplemente $\frac{1}{6} \cdot a \cdot b \cdot c$ donde $a, b, c$ son las distancias al origen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 450 \text{ unidades cúbicas}}$$