Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) Los valores de $\alpha$ para los que el sistema es compatible y los valores de $\alpha$ para los que el sistema es incompatible.** Escribimos el sistema en forma matricial $AX = B$, donde la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 7 & 9 & 11 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & 11 & \alpha \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 7 & 9 & 11 \end{vmatrix} = (1\cdot 4\cdot 11) + (1\cdot 5\cdot 7) + (1\cdot 3\cdot 9) - (7\cdot 4\cdot 1) - (9\cdot 5\cdot 1) - (11\cdot 3\cdot 1)$$ $$|A| = 44 + 35 + 27 - 28 - 45 - 33 = 106 - 106 = 0$$ Como $|A| = 0$, el rango de $A$ es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1 \neq 0 \implies \mathbf{rg(A) = 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz es cero, el sistema no puede ser Compatible Determinado.

Para estudiar el rango de $A^*$, orlamos el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 7 & 9 & \alpha \end{vmatrix} = (1\cdot 4\cdot \alpha) + (1\cdot 5\cdot 7) + (4\cdot 3\cdot 9) - (7\cdot 4\cdot 4) - (9\cdot 5\cdot 1) - (\alpha \cdot 3\cdot 1)$$ $$|M| = 4\alpha + 35 + 108 - 112 - 45 - 3\alpha = \alpha - 14$$ Analizamos según el valor de $\alpha$ siguiendo el **Teorema de Rouché-Frobenius**: 1. **Si $\alpha - 14 \neq 0$**, es decir, **$\alpha \neq 14$**: $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) \neq rg(A^*)$, el **sistema es Incompatible (SI)**. 2. **Si $\alpha - 14 = 0$**, es decir, **$\alpha = 14$**: $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), el **sistema es Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \alpha = 14 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado} \\ \alpha \neq 14 \implies \text{Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible.** El sistema es compatible solo si $\alpha = 14$. Al ser $rg(A)=2$, podemos eliminar la tercera ecuación (por ser combinación lineal de las otras) y quedarnos con un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Usamos $z = \lambda$ como parámetro: $$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 3x + 4y + 5z = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 4 - \lambda \\ 3x + 4y = 5 - 5\lambda \end{cases}$$ Resolvemos por sustitución. De la primera ecuación: $x = 4 - \lambda - y$. Sustituimos en la segunda: $$3(4 - \lambda - y) + 4y = 5 - 5\lambda$$ $$12 - 3\lambda - 3y + 4y = 5 - 5\lambda$$ $$y = 5 - 5\lambda - 12 + 3\lambda = -7 - 2\lambda$$ Ahora calculamos $x$: $$x = 4 - \lambda - (-7 - 2\lambda) = 4 - \lambda + 7 + 2\lambda = 11 + \lambda$$ 💡 **Tip:** No olvides indicar que $\lambda$ puede ser cualquier número real ($\lambda \in \mathbb{R}$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = 11 + \lambda \\ y = -7 - 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente 11 por cualquier otro número diferente.** Sea $k$ el nuevo coeficiente de $z$ en la tercera ecuación ($k \neq 11$). La nueva matriz de coeficientes $A_k$ es: $$A_k = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 7 & 9 & k \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|A_k| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 7 & 9 & k \end{vmatrix} = (4k + 35 + 27) - (28 + 45 + 3k) = 4k + 62 - (73 + 3k) = k - 11$$ Como el enunciado indica que el coeficiente es **diferente a 11**, tenemos que $k \neq 11$, por lo que: $$|A_k| = k - 11 \neq 0 \implies rg(A_k) = 3$$ Si el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas (3), por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, independientemente del valor de $\alpha$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema será siempre Compatible Determinado (SCD)}}$$