Estudio de función exponencial, Teorema de Rolle e integración

**a) Las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos de la función $f(x)$. (3 puntos)** Primero, determinamos el dominio de la función. $f(x) = xe^{-x^2}$ es el producto de un polinomio y una función exponencial, por lo que su dominio es todo $\mathbb{R}$. **Asíntotas Verticales (AV):** Al ser el dominio $\mathbb{R}$ y no haber puntos de discontinuidad, **no existen asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos los límites en el infinito: $$\lim_{x \to +\infty} xe^{-x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2xe^{x^2}} = 0$$ De igual forma, para $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} xe^{-x^2} = 0$$ Por tanto, existe una asíntota horizontal en **$y = 0$**. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos lados, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Recuerda que si existe una asíntota horizontal en un sentido del infinito, no puede haber una oblicua en ese mismo sentido. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No hay; AH: } y=0; \text{ AO: No hay}}$$

Para estudiar el crecimiento y los extremos, calculamos la primera derivada $f'(x)$: $$f(x) = xe^{-x^2} \implies f'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot e^{-x^2}(-2x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$(1 - 2x^2)e^{-x^2} = 0 \implies 1 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos (aproximadamente $\pm 0.707$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) & -\frac{\sqrt{2}}{2} & (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} & (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - La función es **decreciente** en $(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)$. - La función es **creciente** en $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. **Extremos relativos:** - **Mínimo relativo** en $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-1/2} = -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}} \approx -0.429$. - **Máximo relativo** en $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}} \approx 0.429$. ✅ **Resultado (Crecimiento y Extremos):** $$\boxed{\text{Crec: } (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}); \text{ Dec: } (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty); \text{ Máx: } (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2e}}); \text{ Mín: } (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2e}})}$$

**b) La representación gráfica de la curva $y = f(x)$. (2 puntos)** Utilizamos la información anterior: 1. Pasa por el origen $(0,0)$. 2. Es una función impar: $f(-x) = -xe^{-(-x)^2} = -f(x)$ (simetría respecto al origen). 3. Tiene un máximo en $(\approx 0.71, \approx 0.43)$ y un mínimo en $(\approx -0.71, \approx -0.43)$. 4. Se aproxima al eje $X$ ($y=0$) cuando $x \to \pm \infty$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=xe^{-x^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(1/sqrt(2), 1/sqrt(2e))", "showLabel": true, "label": "Máximo", "color": "#16a34a" }, { "id": "min", "latex": "(-1/sqrt(2), -1/sqrt(2e))", "showLabel": true, "label": "Mínimo", "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -4, "right": 4, "bottom": -1, "top": 1 } } }

**c) El valor del parámetro $a$ para que se pueda aplicar el teorema de Rolle en el intervalo $[0,1]$ a la función $g(x) = f(x) + ax$. (1 punto)** El Teorema de Rolle requiere que la función $g(x)$ sea: 1. Continua en $[0, 1]$. 2. Derivable en $(0, 1)$. 3. Cumpla que $g(0) = g(1)$. Como $f(x)$ y $ax$ son continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$, las condiciones 1 y 2 se cumplen para cualquier $a \in \mathbb{R}$. Forzamos la condición 3: $$g(0) = f(0) + a(0) = 0 \cdot e^0 + 0 = 0$$ $$g(1) = f(1) + a(1) = 1 \cdot e^{-1} + a = \frac{1}{e} + a$$ Igualamos $g(0) = g(1)$: $$0 = \frac{1}{e} + a \implies a = -\frac{1}{e}$$ 💡 **Tip:** El teorema de Rolle garantiza que existe al menos un punto $c \in (0, 1)$ tal que $g'(c) = 0$ si se cumplen las tres condiciones mencionadas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -\frac{1}{e}}$$

**d) El valor de las integrales indefinidas $\int f(x) \, dx$, $\int xe^{-x} \, dx$. (4 puntos)** Calculamos primero $I_1 = \int xe^{-x^2} \, dx$. Esta es una integral de tipo casi inmediata (exponencial con la derivada del exponente): $$I_1 = \int x e^{-x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \int -2x e^{-x^2} \, dx$$ Reconocemos la forma $\int u' e^u = e^u + C$: $$I_1 = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$$ ✅ **Resultado (Primera integral):** $$\boxed{\int xe^{-x^2} \, dx = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C}$$

Calculamos ahora $I_2 = \int xe^{-x} \, dx$ mediante el método de integración por partes. Fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^{-x} \, dx \implies v = -e^{-x}$ Aplicamos la fórmula: $$I_2 = x(-e^{-x}) - \int -e^{-x} \, dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} \, dx$$ La integral de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$, por tanto: $$I_2 = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x + 1)e^{-x} + C$$ 💡 **Tip:** La regla mnemotécnica "ALPES" nos ayuda a elegir $u$: A (arcos), L (logaritmos), P (polinomios), E (exponenciales), S (senos/cosenos). Como $x$ es polinomio y $e^{-x}$ es exponencial, elegimos $u = x$. ✅ **Resultado (Segunda integral):** $$\boxed{\int xe^{-x} \, dx = -(x+1)e^{-x} + C}$$