Geometría en el espacio: Rectas, planos y perpendicularidad

**a) La ecuación del plano que contiene las rectas $r$ y $s$. (3 puntos)** Primero, obtenemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$, resolvemos el sistema paramétricamente haciendo $x = \lambda$: - $y = x + 3 = \lambda + 3$ - $z = 2x + 3 = 2\lambda + 3$ Así, para $r$: $P_r = (0, 3, 3)$ y $\vec{v}_r = (1, 1, 2)$. Para la recta $s$, que está en forma continua $x = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{2}$: - $P_s = (0, -1, 2)$ - $\vec{v}_s = (1, 1, 2)$ Observamos que $\vec{v}_r = \vec{v}_s$, por lo que las rectas son **paralelas o coincidentes**. Comprobamos si $P_s \in r$: $$0 - (-1) + 3 = 4 \neq 0$$ Como el punto no cumple las ecuaciones de $r$, las rectas son **paralelas distintas**. 💡 **Tip:** Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales y no tienen puntos en común.

Para definir el plano $\alpha$ que contiene a dos rectas paralelas, necesitamos un punto (por ejemplo $P_r$), el vector director de las rectas ($\vec{v}_r$) y un segundo vector auxiliar formado por dos puntos de las rectas: $\vec{P_s P_r}$. $$\vec{P_s P_r} = P_r - P_s = (0 - 0, 3 - (-1), 3 - 2) = (0, 4, 1)$$ El plano viene dado por el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 3 & z - 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x-0) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} - (y-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + (z-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$$ $$x(1 - 8) - (y-3)(1 - 0) + (z-3)(4 - 0) = 0$$ $$-7x - y + 3 + 4z - 12 = 0 \implies -7x - y + 4z - 9 = 0$$ Multiplicando por $-1$ obtenemos la ecuación general: ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{7x + y - 4z + 9 = 0}$$

**b) La recta que pasa por $P = (0, -1, 2)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$. (4 puntos)** Note que $P = (0, -1, 2)$ coincide con el punto $P_s$ de la recta $s$. Para hallar la recta $t$ que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a $r$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar un plano $\beta$ perpendicular a $r$ que pase por $P$. 2. Hallar el punto de corte $Q$ entre el plano $\beta$ y la recta $r$. 3. La recta $t$ será la que pase por $P$ y $Q$. El vector normal del plano $\beta$ será el vector director de $r$: $\vec{n}_\beta = \vec{v}_r = (1, 1, 2)$. Ecuación de $\beta$: $1(x - 0) + 1(y + 1) + 2(z - 2) = 0$ $$x + y + 1 + 2z - 4 = 0 \implies x + y + 2z - 3 = 0$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta es el vector normal del plano.

Buscamos el punto $Q = r \cap \beta$. Sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano: $x = \lambda, \quad y = \lambda + 3, \quad z = 2\lambda + 3$ $$(\lambda) + (\lambda + 3) + 2(2\lambda + 3) - 3 = 0$$ $$\lambda + \lambda + 3 + 4\lambda + 6 - 3 = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0 \implies \lambda = -1$$ Sustituyendo $\lambda = -1$ en $r$ obtenemos $Q$: $x = -1$ $y = -1 + 3 = 2$ $z = 2(-1) + 3 = 1$ $$Q = (-1, 2, 1)$$

La recta $t$ pasa por $P(0, -1, 2)$ y $Q(-1, 2, 1)$. El vector director es: $$\vec{v}_t = \vec{PQ} = Q - P = (-1 - 0, 2 - (-1), 1 - 2) = (-1, 3, -1)$$ Podemos escribir la recta en forma paramétrica: ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{t: \begin{cases} x = -\mu \\ y = -1 + 3\mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}}$$

**c) El valor que deben tener los parámetros reales $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $\pi: x - 2y + az = b$. (3 puntos)** Para que la recta $s$ esté contenida en el plano $\pi$, se deben cumplir dos condiciones: 1. El vector director de la recta $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. 2. Un punto cualquiera de la recta (usaremos $P_s$) debe pertenecer al plano. Datos: - $\vec{v}_s = (1, 1, 2)$ - $P_s = (0, -1, 2)$ - $\vec{n}_\pi = (1, -2, a)$

**Condición 1: Perpendicularidad de vectores** $$\vec{v}_s \cdot \vec{n}_\pi = 0 \implies (1, 1, 2) \cdot (1, -2, a) = 0$$ $$1 - 2 + 2a = 0 \implies -1 + 2a = 0 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$$ **Condición 2: Punto en el plano** Sustituimos $P_s(0, -1, 2)$ en la ecuación del plano $x - 2y + \frac{1}{2}z = b$: $$0 - 2(-1) + \frac{1}{2}(2) = b$$ $$2 + 1 = b \implies b = 3$$ ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{a = \dfrac{1}{2}, \quad b = 3}$$