Matrices, sistemas con parámetros e invertibilidad

**a) El rango de la matriz $A$ en función del parámetro $a$ y el determinante de la matriz $2A^{-1}$ cuando $a = 1$.** Para estudiar el rango de la matriz $A$, calculamos primero su determinante en función de $a$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ -2 & a + 1 & 2 \\ -3 & a - 1 & a \end{vmatrix}$$ $$|A| = 1 \cdot (a+1) \cdot a + 0 \cdot 2 \cdot (-3) + a \cdot (-2) \cdot (a-1) - [a \cdot (a+1) \cdot (-3) + 0 \cdot (-2) \cdot a + 1 \cdot 2 \cdot (a-1)]$$ $$|A| = (a^2 + a) - 2a^2 + 2a - [-3a^2 - 3a + 2a - 2]$$ $$|A| = -a^2 + 3a + 3a^2 + a + 2 = 2a^2 + 4a + 2$$ Factorizamos la expresión: $$|A| = 2(a^2 + 2a + 1) = 2(a+1)^2$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ se calcula sumando los productos de las diagonales principales y restando los de las secundarias (Sarrus).

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$2(a+1)^2 = 0 \implies a+1 = 0 \implies a = -1$$ Analizamos los casos según el valor de $a$: 1. **Si $a \neq -1$:** El determinante $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de la matriz es máximo. $$\text{rango}(A) = 3$$ 2. **Si $a = -1$:** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \neq 0$$ Por tanto, **$\text{rango}(A) = 2$**. ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\text{Si } a \neq -1, \text{rg}(A)=3; \text{ si } a = -1, \text{rg}(A)=2}$$

Si $a = 1$, el determinante de $A$ es: $$|A| = 2(1+1)^2 = 2 \cdot 4 = 8$$ Usamos las propiedades de los determinantes: 1. $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$ (donde $n$ es el orden de la matriz). 2. $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$. Para la matriz $2A^{-1}$, al ser de orden 3: $$|2A^{-1}| = 2^3 \cdot |A^{-1}| = 8 \cdot \frac{1}{|A|}$$ Sustituimos el valor de $|A|$: $$|2A^{-1}| = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un escalar de un determinante, este sale elevado a la dimensión de la matriz. ✅ **Resultado (Determinante):** $$\boxed{|2A^{-1}| = 1}$$

**b) Todas las soluciones del sistema de ecuaciones $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ cuando $a = -1$.** Sustituimos $a = -1$ en la matriz $A$: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Analizamos la compatibilidad usando el Teorema de Rouché-Frobenius. Sabemos del apartado anterior que $\text{rg}(A) = 2$. Estudiamos el rango de la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 & 2 \\ -3 & -2 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que la segunda fila es la primera multiplicada por $-2$ ($F_2 = -2F_1$), incluyendo el término independiente: $$-2 \cdot (1, 0, -1 | -1) = (-2, 0, 2 | 2)$$ Esto indica que una ecuación es redundante. Como el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada ($2$), pero es menor que el número de incógnitas ($3$), el sistema es **Compatible Indeterminado**. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius dice que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$, el sistema tiene infinitas soluciones.

Eliminamos la segunda ecuación por ser dependiente y nos quedamos con: $$\begin{cases} x - z = -1 \\ -3x - 2y - z = 0 \end{cases}$$ Parametrizamos $z = \lambda$: 1. De la primera ecuación: $x = \lambda - 1$. 2. Sustituimos en la segunda para hallar $y$: $$-3(\lambda - 1) - 2y - \lambda = 0$$ $$-3\lambda + 3 - 2y - \lambda = 0$$ $$-4\lambda + 3 = 2y \implies y = \frac{3 - 4\lambda}{2} = \frac{3}{2} - 2\lambda$$ ✅ **Resultado (Soluciones):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda - 1, \frac{3}{2} - 2\lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) La comprobación de que $B$ es invertible, encontrando $m$ y $n$ tales que $B^{-1} = mB + nI$.** Partimos de la ecuación dada: $$B^2 = \frac{1}{3} I - 2B$$ Para demostrar que una matriz es invertible, debemos poder escribir la identidad $I$ como producto de $B$ por otra matriz. Reorganizamos los términos: $$B^2 + 2B = \frac{1}{3} I$$ Multiplicamos toda la ecuación por 3 para despejar la identidad: $$3B^2 + 6B = I$$ Factorizamos la matriz $B$ por la izquierda (o por la derecha, ya que las potencias de una misma matriz conmutan): $$B(3B + 6I) = I$$ Por la definición de matriz inversa ($B \cdot B^{-1} = I$), concluimos que $B$ es invertible. 💡 **Tip:** Una matriz $B$ es invertible si existe otra matriz $C$ tal que $B \cdot C = I$. En ese caso, $C = B^{-1}$.

De la expresión obtenida en el paso anterior: $$B^{-1} = 3B + 6I$$ El enunciado nos pide encontrar $m$ y $n$ tales que: $$B^{-1} = mB + nI$$ Comparando ambas expresiones térmimo a término, identificamos los valores: $$m = 3$$ $$n = 6$$ ✅ **Resultado (Coeficientes):** $$\boxed{m = 3, \quad n = 6}$$