Invertibilidad y sistemas de ecuaciones lineales con parámetros

**(I) Determina para qué valores del parámetro $a$ existe la inversa de la matriz $A$.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot a) + (a \cdot 1 \cdot 1) - (a \cdot a \cdot a) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = a + a + a - a^3 - 1 - 1 = -a^3 + 3a - 2$$ Para hallar los valores que anulan el determinante, resolvemos $-a^3 + 3a - 2 = 0$. Probamos con divisores del término independiente (como $a=1$): $$-(1)^3 + 3(1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$$ Como $a=1$ es raíz, aplicamos Ruffini o división polinómica para factorizar: $$-a^3 + 3a - 2 = -(a - 1)^2(a + 2)$$ Los valores que anulan el determinante son **$a = 1$** y **$a = -2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible (o regular) si su determinante es no nulo. Si $|A|=0$, la matriz es singular y no tiene inversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \iff a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}}$$

**(I) Discute el sistema de ecuaciones para los distintos valores del parámetro $a$.** Para discutir el sistema utilizamos el Teorema de Rouché-Frobenius. El sistema es $AX = B$ con $B = (1, 1, 1)^T$. Sea $A^*$ la matriz ampliada $(A|B)$. **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -2$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que el número de columnas (que es 4) ni menor que $\text{rg}(A)$, y el número de incógnitas es 3: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^{\circ} \text{ de incógnitas}$$ 💡 **Tip:** Cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre es Compatible Determinado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, -2: \text{ Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

**Caso 2: $a = 1$** Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que las tres filas son idénticas. Por tanto, el rango de $A$ y el de $A^*$ es 1: $$\text{rg}(A) = 1 = \text{rg}(A^*)$$ Como el rango es menor que el número de incógnitas ($1 \lt 3$), el sistema es indeterminado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1: \text{ Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**Caso 3: $a = -2$** Sustituimos $a = -2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2) + (-2) + (1) - [ (4) + (1) + (1) ] = -3 - 6 = -9 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -2: \text{ Sistema Incompatible (SI)}}$$

**(II) Resuelve el sistema de ecuaciones cuando sea compatible.** **Subcaso SCD ($a \neq 1, -2$):** Podemos usar la Regla de Cramer. Ya sabemos que $|A| = -(a-1)^2(a+2)$. $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{a + 1 + a - a^2 - 1 - 1}{-(a-1)^2(a+2)} = \frac{-a^2 + 2a - 1}{-(a-1)^2(a+2)}$$ Factorizamos el numerador: $-a^2 + 2a - 1 = -(a^2 - 2a + 1) = -(a-1)^2$. $$x = \frac{-(a-1)^2}{-(a-1)^2(a+2)} = \frac{1}{a+2}$$ Debido a la simetría de la matriz y del vector de términos independientes, los cálculos para $y$ y $z$ serán idénticos: ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{1}{a+2}, \quad y = \frac{1}{a+2}, \quad z = \frac{1}{a+2}}$$

**Subcaso SCI ($a = 1$):** El sistema se reduce a una sola ecuación: $$x + y + z = 1$$ Para resolverlo, tomamos dos parámetros, por ejemplo $y = \lambda$ y $z = \mu$, con $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$: $$x = 1 - \lambda - \mu$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 1 y 3 incógnitas, necesitamos $3-1=2$ parámetros para expresar la solución general. ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - \lambda - \mu, \lambda, \mu) \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$