Continuidad, derivabilidad y área de una función a trozos

**(I) Halla $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y derivable en $x = 0$.** Para que una función sea continua en un punto $x = c$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos los límites laterales en $x = 0$: 1. Por la izquierda ($x \le 0$): $$\lim_{x \to 0^-} \cos x = \cos(0) = 1$$ 2. Por la derecha ($x \gt 0$): $$\lim_{x \to 0^+} (-x^2 + ax + b) = -0^2 + a(0) + b = b$$ Para que sea continua: $$b = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad es una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad. Si una función no es continua, no puede ser derivable.

Una vez garantizada la continuidad con $b=1$, estudiamos la derivabilidad. Para ello, derivamos las ramas de la función: $$f'(x) = \begin{cases} -\sin x & \text{si } x \lt 0 \\ -2x + a & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales deben coincidir: $$f'(0^-) = f'(0^+)$$ 1. Derivada por la izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (-\sin x) = -\sin(0) = 0$$ 2. Derivada por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (-2x + a) = -2(0) + a = a$$ Igualando ambas expresiones obtenemos: $$a = 0$$ ✅ **Resultado (Parámetros):** $$\boxed{a = 0, \quad b = 1}$$

**(II) Para los valores anteriores de $a$ y $b$ analiza si $f$ tiene un extremo relativo en $x = 0$.** Sustituimos $a = 0$ y $b = 1$ en la función y su derivada: $$f(x) = \begin{cases} \cos x & \text{si } x \le 0 \\ -x^2 + 1 & \text{si } x \gt 0 \end{cases} \implies f'(x) = \begin{cases} -\sin x & \text{si } x \lt 0 \\ -2x & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Analizamos el signo de la primera derivada alrededor de $x = 0$: - Si $x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$, entonces $\sin x \lt 0$. Por tanto, $f'(x) = -\sin x \gt 0$. La función es **creciente**. - Si $x \in (0, 1)$, entonces $-2x \lt 0$. Por tanto, $f'(x) = -2x \lt 0$. La función es **decreciente**. Podemos resumirlo en la siguiente tabla: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\frac{\pi}{2}, 0) & 0 & (0, 1) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array} $$ Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = 0$ y es continua, existe un máximo relativo en dicho punto. ✅ **Resultado (Extremo):** $$\boxed{\text{En } x = 0 \text{ hay un máximo relativo}}$$

**(III) Halla el área encerrada por la función y el eje $OX$ en el intervalo $[-\frac{\pi}{2}, 1].$** El área viene dada por la integral definida del valor absoluto de la función. Primero comprobamos si la función corta al eje $OX$ ($f(x) = 0$) en el intervalo dado: - En $[-\frac{\pi}{2}, 0]$: $\cos x = 0 \implies x = -\frac{\pi}{2}$. - En $(0, 1]$: $-x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$. En ambos subintervalos la función es positiva (o cero en los extremos): - $\cos x \ge 0$ para $x \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$. - $-x^2 + 1 \ge 0$ para $x \in [0, 1]$. Por tanto, el área total es la suma de las áreas bajo cada rama: $$A = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x \, dx + \int_{0}^{1} (-x^2 + 1) \, dx$$

Aplicamos la Regla de Barrow para cada integral: 1. Primera integral: $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x \, dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \sin(0) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - (-1) = 1$$ 2. Segunda integral: $$\int_{0}^{1} (-x^2 + 1) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1^3}{3} + 1 \right) - (0) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$$ Sumamos ambas áreas: $$A = 1 + \frac{2}{3} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3} \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Siempre que calcules áreas, asegúrate de que el resultado sea positivo. Si una función es negativa en un intervalo, debes integrar su opuesta o tomar el valor absoluto. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{5}{3} \approx 1.67 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\left\\{x\\le 0:\\cos(x),x>0:-x^2+1\\right\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg1", "latex": "0\\le y\\le \\cos(x)\\left\\{-\\pi/2\\le x\\le 0\\right\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "0\\le y\\le -x^2+1\\left\\{0\\le x\\le 1\\right\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 2, "bottom": -1, "top": 1.5 } } }