Probabilidad total y Teorema de Bayes con urnas

**(I) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas.** En primer lugar, definimos los sucesos relativos a la elección de la urna según el resultado del dado: - $A$: Seleccionar la urna A (sale 1, 2 o 3). - $B$: Seleccionar la urna B (sale 4 o 5). - $C$: Seleccionar la urna C (sale 6). - $W$: Extraer dos bolas blancas. Calculamos las probabilidades de elegir cada urna basándonos en las caras del dado (6 caras en total): $$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$P(C) = \frac{1}{6}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos elementales (elegir urna) debe ser 1: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$.

Ahora calculamos la probabilidad de extraer dos bolas blancas ($W$) de cada urna. Como se extraen dos bolas de una vez (o sin reemplazamiento), usamos combinatoria o el producto de probabilidades sucesivas: **Urna A (2B, 3N):** Total 5 bolas. $$P(W|A) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{1}{10} = 0,1$$ *(O bien: $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$)* **Urna B (3B, 2N):** Total 5 bolas. $$P(W|B) = \frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{3}{10} = 0,3$$ *(O bien: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$)* **Urna C (4B, 1N):** Total 5 bolas. $$P(W|C) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{6}{10} = 0,6$$ *(O bien: $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{20} = \frac{6}{10}$)*

Visualizamos el experimento mediante un diagrama de árbol para facilitar el cálculo de la probabilidad total:

Para obtener la probabilidad de que las dos bolas sean blancas, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(W) = P(A) \cdot P(W|A) + P(B) \cdot P(W|B) + P(C) \cdot P(W|C)$$ Sustituimos los valores calculados: $$P(W) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10} \right) + \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{10} \right)$$ $$P(W) = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10}$$ Para sumar las fracciones buscamos denominador común ($20$): $$P(W) = \frac{1}{20} + \frac{2}{20} + \frac{2}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0,25$$ ✅ **Resultado (I):** $$\boxed{P(W) = 0,25}$$

**(II) Suponiendo que las dos bolas extraídas son blancas, calcula la probabilidad de que se hayan extraído de la primera urna.** Nos piden la probabilidad de que la urna sea la A sabiendo que el resultado ha sido dos bolas blancas ($W$). Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|W) = \frac{P(A \cap W)}{P(W)} = \frac{P(A) \cdot P(W|A)}{P(W)}$$ Utilizamos los datos obtenidos anteriormente: - $P(A) \cdot P(W|A) = \frac{1}{20} = 0,05$ - $P(W) = 0,25$ $$P(A|W) = \frac{0,05}{0,25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0,2$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad: pasamos de conocer $P(W|A)$ a conocer $P(A|W)$ tras observar el resultado. ✅ **Resultado (II):** $$\boxed{P(A|W) = 0,2}$$