Geometría en el espacio: Rectas y planos

**(I) Determina la ecuación de la recta $s$ que contiene al punto $P = (1, 2, -1)$, es perpendicular a la recta $r$ y paralela al plano $\pi$.** Primero extraemos los elementos característicos de los objetos geométricos dados: 1. **Del plano $\pi \equiv 2x + y - z - 3 = 0$**, obtenemos su vector normal $\vec{n_\pi}$ a partir de los coeficientes de $x, y, z$: $$\vec{n_\pi} = (2, 1, -1)$$ 2. **De la recta $r$**, escrita en paramétricas, el vector director $\vec{v_r}$ son los coeficientes que acompañan al parámetro $\lambda$: $$\vec{v_r} = (-1, 1, -3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una recta en el espacio queda definida por un punto y un vector director, mientras que un plano queda definido por un punto y un vector perpendicular a él (normal).

Para que la recta $s$ cumpla las condiciones impuestas, su vector director $\vec{v_s}$ debe ser: - **Perpendicular a $r$**: $\vec{v_s} \perp \vec{v_r} \implies \vec{v_s} \cdot \vec{v_r} = 0$. - **Paralela a $\pi$**: $\vec{v_s} \perp \vec{n_\pi} \implies \vec{v_s} \cdot \vec{n_\pi} = 0$. Esto significa que $\vec{v_s}$ debe ser simultáneamente perpendicular a $\vec{v_r}$ y a $\vec{n_\pi}$. Podemos obtenerlo mediante el **producto vectorial**: $$\vec{v_s} = \vec{v_r} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v_s} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_s} = \mathbf{i}(-1 - (-3)) - \mathbf{j}(1 - (-6)) + \mathbf{k}(-1 - 2)$$ $$\vec{v_s} = (2, -7, -3)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un nuevo vector que es perpendicular a ambos.

Conocemos el punto $P(1, 2, -1)$ y el vector director $\vec{v_s} = (2, -7, -3)$. Podemos escribir la ecuación de la recta $s$ en su forma continua: $$s: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-7} = \frac{z + 1}{-3}$$ O en forma paramétrica: $$s: \begin{cases} x = 1 + 2\mu \\ y = 2 - 7\mu \\ z = -1 - 3\mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado (recta s):** $$\boxed{s: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-7} = \frac{z + 1}{-3}}$$

**(II) Halla la distancia de la recta $s$ al plano $\pi$.** Dado que hemos construido la recta $s$ para que sea paralela al plano $\pi$ (su vector director $\vec{v_s}$ es perpendicular a $\vec{n_\pi}$), la distancia de la recta al plano es constante en todos sus puntos. Calculamos primero si $P$ está en el plano para ver si la distancia es $0$: $$\pi(P) = 2(1) + 1(2) - 1(-1) - 3 = 2 + 2 + 1 - 3 = 2 \neq 0$$ Como $P \notin \pi$, la recta es estrictamente paralela al plano. Por tanto, la distancia de $s$ a $\pi$ es igual a la distancia de cualquier punto de la recta (por ejemplo $P$) al plano $\pi$: $$d(s, \pi) = d(P, \pi)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, la distancia de la recta al plano es la misma que la de cualquier punto de la recta al plano.

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituyendo los valores de $P(1, 2, -1)$ y el plano $2x + y - z - 3 = 0$: $$d(s, \pi) = \frac{|2(1) + 1(2) - 1(-1) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}}$$ $$d(s, \pi) = \frac{|2 + 2 + 1 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$$ Racionalizamos el resultado: $$d(s, \pi) = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(s, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.816 \text{ u}}$$