Inversa de una matriz y discusión de un sistema con parámetros

**(I) Determina para qué valores del parámetro $a$ existe la inversa de la matriz $A$.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot a) + (a \cdot 1 \cdot 1) - (a \cdot a \cdot a) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$\det(A) = a + a + a - a^3 - 1 - 1 = -a^3 + 3a - 2$$ Buscamos los valores que anulan el determinante resolviendo $-a^3 + 3a - 2 = 0$. Probamos raíces enteras por Ruffini: $$\begin{array}{r|rrrr} & -1 & 0 & 3 & -2 \\ 1 & & -1 & -1 & 2 \\ \hline & -1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & & -1 & -2 & \\ \hline & -1 & -2 & 0 & \end{array}$$ Las raíces son $a = 1$ (doble) y $a = -2$. Por tanto, el determinante se factoriza como: $$\det(A) = -(a-1)^2(a+2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ es invertible (o regular) $\iff |A| \neq 0$. ✅ **La matriz $A$ tiene inversa si:** $$\boxed{a \neq 1 \text{ y } a \neq -2}$$

**(I) Discute el sistema de ecuaciones para los distintos valores del parámetro $a$.** Para discutir el sistema, analizaremos el rango de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^* = (A|B)$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -2$** En este caso, $\det(A) \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 3$. Como el rango máximo de $A^*$ es 3 y contiene a $A$, $\text{rang}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n = 3$: **El sistema es Compatible Determinado (SCD)** (solución única). **Caso 2: $a = 1$** Sustituimos $a=1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Todas las filas son iguales, por lo que $\text{rang}(A) = 1$ y $\text{rang}(A^*) = 1$. Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 1 < 3$: **El sistema es Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). **Caso 3: $a = -2$** Sustituimos $a=-2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rang}(A) < 3$. Existe un menor de orden 2 no nulo $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 2$. Para el rango de $A^*$, si sumamos las tres filas: $$F_1 + F_2 + F_3 \to (1+1-2, 1-2+1, -2+1+1 | 1+1+1) = (0, 0, 0 | 3)$$ Esto indica que las ecuaciones de los coeficientes son linealmente dependientes pero los términos independientes no, luego $\text{rang}(A^*) = 3$. Como $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$: **El sistema es Incompatible (SI)** (no tiene solución). 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius es la herramienta fundamental para clasificar sistemas. Siempre compara los rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada con el número de incógnitas.

**(II) Resuelve el sistema de ecuaciones cuando sea compatible.** **Subcaso SCD: $a \neq 1, -2$** El sistema es: $$\begin{cases} x + y + az = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ ax + y + z = 1 \end{cases}$$ Observamos que el sistema es simétrico. Si sumamos las tres ecuaciones: $$(a+2)x + (a+2)y + (a+2)z = 3 \implies (a+2)(x+y+z) = 3 \implies x+y+z = \frac{3}{a+2}$$ Restando las dos primeras ecuaciones: $(1-a)y + (a-1)z = 0 \implies (a-1)z = (a-1)y$. Como $a \neq 1$, entonces $z=y$. De igual forma se obtiene $x=y$. Sustituyendo $x=y=z$ en la primera ecuación: $$x + x + ax = 1 \implies x(2+a) = 1 \implies x = \frac{1}{a+2}$$ ✅ **La solución para $a \neq 1, -2$ es:** $$\boxed{x = \frac{1}{a+2}, \quad y = \frac{1}{a+2}, \quad z = \frac{1}{a+2}}$$

**Subcaso SCI: $a = 1$** Como vimos en la discusión, para $a=1$ el sistema se reduce a una única ecuación: $$x + y + z = 1$$ Para resolverlo, tomamos dos parámetros, por ejemplo $y = \lambda$ y $z = \mu$, con $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$: $$x = 1 - \lambda - \mu$$ ✅ **La solución para $a = 1$ es:** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 - \lambda - \mu \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rang}(A)$. Aquí $3 - 1 = 2$ parámetros.