Continuidad, derivabilidad y cálculo de áreas de una función a trozos

**(I) Halla $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y derivable en $x = 0$.** Para que una función sea derivable, primero debe ser continua. Una función es continua en $x=0$ si los límites laterales coinciden con el valor de la función en dicho punto: 1. **Valor de la función:** $f(0) = \cos(0) = 1$. 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \cos x = \cos 0 = 1$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x^2 + ax + b) = b$$ Para que haya continuidad en el salto entre ramas, imponemos: $$1 = b \implies \mathbf{b = 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que $f$ sea continua en $x=c$ se debe cumplir $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Una vez garantizada la continuidad con $b=1$, estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada de la función en las regiones abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} -\sin x, & x < 0 \\ -2x + a, & x > 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. **Derivada lateral izquierda:** $f'(0^-) = -\sin(0) = 0$. 2. **Derivada lateral derecha:** $f'(0^+) = -2(0) + a = a$. Igualando ambas derivadas: $$0 = a \implies \mathbf{a = 0}$$ Por tanto, la función para la que $f$ es continua y derivable en $x=0$ es: $$\boxed{a=0, \quad b=1}$$ La función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} \cos x, & x \leq 0 \\ -x^2 + 1, & x > 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es derivable en un punto de separación si es continua en él y si los límites laterales de su derivada coinciden.

**(II) Para los valores anteriores de $a$ y $b$ analiza si $f$ tiene un extremo relativo en $x = 0$.** Utilizamos los valores $a=0$ y $b=1$. Hemos visto que $f'(0) = 0$, lo que indica que $x=0$ es un punto crítico (candidato a extremo). Analizamos el signo de la primera derivada $f'(x)$ alrededor de $x=0$: $$f'(x) = \begin{cases} -\sin x, & x < 0 \\ -2x, & x > 0 \end{cases}$$ **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\epsilon, 0) & 0 & (0, +\epsilon) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ Justificación: - Si $x \lt 0$ (cerca de 0), $\sin x$ es negativo, por lo que $f'(x) = -\sin x \gt 0$. - Si $x \gt 0$, $f'(x) = -2x \lt 0$. Como la función pasa de ser creciente a decreciente en $x=0$, existe un **máximo relativo** en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{En } x=0 \text{ hay un máximo relativo de valor } f(0)=1}$$

**(III) Halla el área encerrada por la función y el eje $OX$ en el intervalo $[-\frac{\pi}{2}, 1].$** El área se calcula mediante la integral definida del valor absoluto de la función. Primero comprobamos si la función corta al eje $OX$ ($f(x)=0$) en el intervalo dado: - En $[-\frac{\pi}{2}, 0]$, $f(x) = \cos x = 0 \implies x = -\frac{\pi}{2}$ (extremo del intervalo). - En $[0, 1]$, $f(x) = -x^2 + 1 = 0 \implies x = 1$ (extremo del intervalo). Como la función no cambia de signo dentro del intervalo (es siempre positiva o cero), el área es la suma de las integrales en cada trozo: $$A = \int_{-\pi/2}^{0} \cos x \, dx + \int_{0}^{1} (-x^2 + 1) \, dx$$

Calculamos cada parte de forma independiente aplicando la regla de Barrow: 1. **Primera rama:** $$\int_{-\pi/2}^{0} \cos x \, dx = [\sin x]_{-\pi/2}^{0} = \sin(0) - \sin(-\pi/2) = 0 - (-1) = 1$$ 2. **Segunda rama:** $$\int_{0}^{1} (-x^2 + 1) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1^3}{3} + 1 \right) - (0) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$$ Sumamos ambas áreas: $$A = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área } = \frac{5}{3} \approx 1,67 \text{ u}^2}$$