Distribución normal: cálculo de parámetros y percentiles

**(I) Calcula la desviación típica de la distribución.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de rapes capturados por un barco pesquero. El enunciado nos indica que esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(220, \sigma)$$ Se nos da el siguiente dato de probabilidad: $$P(X \gt 250) = 0,1587$$ Para trabajar con la tabla de la normal tipificada $N(0, 1)$, debemos tipificar la variable utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite transformar cualquier normal $N(\mu, \sigma)$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ restando la media y dividiendo por la desviación típica.

Sustituimos los valores conocidos en la expresión de probabilidad: $$P(X \gt 250) = P\left(Z \gt \frac{250 - 220}{\sigma}\right) = P\left(Z \gt \frac{30}{\sigma}\right) = 0,1587$$ Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada hacia la izquierda $P(Z \le z)$, transformamos la expresión: $$1 - P\left(Z \le \frac{30}{\sigma}\right) = 0,1587$$ $$P\left(Z \le \frac{30}{\sigma}\right) = 1 - 0,1587 = 0,8413$$ Ahora buscamos el valor $0,8413$ en el interior de la tabla de la normal $N(0, 1)$ para hallar el valor de $z$ correspondiente: Consultando la tabla, observamos que $P(Z \le 1,00) = 0,8413$, por lo tanto: $$\frac{30}{\sigma} = 1,00$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z > a) = 1 - P(Z \le a)$. Si el valor de probabilidad resultante es mayor que $0,5$, el valor de $z$ será positivo.

Despejamos $\sigma$ de la ecuación obtenida: $$\sigma = \frac{30}{1} = 30$$ La desviación típica de la distribución es $30$. ✅ **Resultado (desviación típica):** $$\boxed{\sigma = 30}$$

**(II) Calcula el número de rapes que un barco debe capturar para estar en el percentil 95.** El percentil 95 ($P_{95}$) es el valor $k$ de la variable $X$ tal que la probabilidad de capturar esa cantidad o menos es del $95\%$ ($0,95$): $$P(X \le k) = 0,95$$ Ahora que conocemos $\sigma = 30$, nuestra distribución es $X \sim N(220, 30)$. Tipificamos de nuevo: $$P\left(Z \le \frac{k - 220}{30}\right) = 0,95$$ 💡 **Tip:** Un percentil divide la distribución. El percentil $n$ deja el $n\%$ de la población a su izquierda.

Buscamos en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda una probabilidad de $0,95$. En las tablas estándar: - Para $z = 1,64 \implies P(Z \le 1,64) = 0,9495$ - Para $z = 1,65 \implies P(Z \le 1,65) = 0,9505$ Se suele tomar el valor intermedio (interpolación) o el más cercano: $$z = 1,645$$ Entonces, igualamos el valor tipificado con el valor de la tabla: $$\frac{k - 220}{30} = 1,645$$

Despejamos $k$ para hallar el número de rapes: $$k - 220 = 1,645 \cdot 30$$ $$k - 220 = 49,35$$ $$k = 220 + 49,35 = 269,35$$ Un barco debe capturar aproximadamente $269,35$ rapes para situarse en el percentil 95. ✅ **Resultado (percentil 95):** $$\boxed{k = 269,35 \text{ rapes}}$$