Posición relativa de recta y plano con parámetros

Para resolver ambos apartados, primero necesitamos conocer un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$. La recta viene dada como intersección de dos planos. Calculamos el vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen a $r$. Simplificamos la primera ecuación dividiendo por $2$: $x + y + z = 1$. $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{v}_r = [1 \cdot 1 \cdot \vec{i} + 1 \cdot (-1) \cdot \vec{j} + 1 \cdot (-2) \cdot \vec{k}] - [1 \cdot (-1) \cdot \vec{k} + 1 \cdot (-2) \cdot \vec{i} + 1 \cdot 1 \cdot \vec{j}]$$ $$\vec{v}_r = (\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}) - (-\vec{k} - 2\vec{i} + \vec{j}) = 3\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k}$$ $$\vec{v}_r = (3, -2, -1)$$ Ahora buscamos un punto $P_r$ de la recta asignando un valor a una de las variables, por ejemplo $z=0$: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ -x - 2y = 0 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $-y = 1 \implies y = -1$. Sustituyendo en la primera: $x - 1 = 1 \implies x = 2$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es el producto vectorial de sus vectores normales. Un punto se obtiene fijando una coordenada y resolviendo el sistema resultante. $$\boxed{P_r(2, -1, 0), \quad \vec{v}_r(3, -2, -1)}$$

**(I) Determina $a$ y $b$ para que el plano $\pi$ contenga a la recta $r$.** Para que el plano $\pi : ax + y + z - b = 0$ contenga a la recta $r$, deben cumplirse dos condiciones: 1. El vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (a, 1, 1)$, es decir, su producto escalar debe ser cero: $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$. 2. El punto $P_r$ de la recta debe pertenecer al plano: $P_r \in \pi$. Calculamos la primera condición: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (3, -2, -1) \cdot (a, 1, 1) = 3a - 2 - 1 = 0$$ $$3a - 3 = 0 \implies 3a = 3 \implies \mathbf{a = 1}$$ Calculamos la segunda condición con $a=1$ y $P_r(2, -1, 0)$: $$1(2) + 1(-1) + 1(0) - b = 0$$ $$2 - 1 - b = 0 \implies 1 - b = 0 \implies \mathbf{b = 1}$$ ✅ **Resultado (I):** $$\boxed{a = 1, \quad b = 1}$$

**(II) Determina $a$ y $b$ para que $r$ sea paralela al plano $\pi$.** Para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$ sin estar contenida en él, deben cumplirse las siguientes condiciones: 1. El vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$, es decir, $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$. 2. El punto $P_r$ de la recta **no** debe pertenecer al plano: $P_r \notin \pi$. De la condición 1, ya hemos obtenido en el apartado anterior que: $$\mathbf{a = 1}$$ De la condición 2, evaluamos el punto $P_r(2, -1, 0)$ en la ecuación del plano con $a=1$ y exigimos que no se cumpla la igualdad: $$1(2) + (-1) + 0 - b \neq 0$$ $$1 - b \neq 0 \implies \mathbf{b \neq 1}$$ 💡 **Tip:** Si el vector director es perpendicular al normal del plano, la recta es paralela al plano. Si además un punto de la recta cumple la ecuación del plano, la recta está contenida; si no la cumple, es estrictamente paralela. ✅ **Resultado (II):** $$\boxed{a = 1, \quad b \neq 1}$$