Inversibilidad y ecuaciones matriciales con parámetros

**(I) Determina para qué valores del parámetro $a$ existe la inversa de la matriz $A$.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & -a & 2a - 1 \end{vmatrix}$$ Como es una matriz con muchos ceros, desarrollamos por la primera fila: $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 0 \\ -a & 2a - 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (a(2a-1) - 0) = a(2a-1)$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$a(2a-1) = 0 \implies \begin{cases} a = 0 \\ 2a - 1 = 0 \implies a = 1/2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (invertible) si su determinante no es nulo. Si el determinante es cero, la matriz es singular. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \text{ para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1/2\}}$$

**(II) Halla la inversa de la matriz $A$, cuando exista.** Utilizaremos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Calculamos primero la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +|\begin{smallmatrix} a & 0 \\ -a & 2a-1 \end{smallmatrix}| = a(2a-1)$ - $A_{12} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2a-1 \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{13} = +|\begin{smallmatrix} 0 & a \\ 0 & -a \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{21} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ -a & 2a-1 \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{22} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2a-1 \end{smallmatrix}| = 2a-1$ - $A_{23} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -a \end{smallmatrix}| = a$ - $A_{31} = +|\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ a & 0 \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{32} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{33} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{smallmatrix}| = a$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} a(2a-1) & 0 & 0 \\ 0 & 2a-1 & a \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$$ Transponemos la adjunta: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} a(2a-1) & 0 & 0 \\ 0 & 2a-1 & 0 \\ 0 & a & a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** No olvides que en la matriz de adjuntos se debe aplicar la regla de los signos $(-1)^{i+j}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{a(2a-1)} \begin{pmatrix} a(2a-1) & 0 & 0 \\ 0 & 2a-1 & 0 \\ 0 & a & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2a-1} & \frac{1}{2a-1} \end{pmatrix}}$$

**(III) Para $a = 1$ y las matrices $B, C, D$, resuelve el sistema.** El sistema es: $$\begin{cases} BXA = Y \\ \frac{1}{3}Y + C = D \end{cases}$$ Primero, despejamos $Y$ de la segunda ecuación: $$\frac{1}{3}Y = D - C \implies Y = 3(D - C)$$ Ahora sustituimos $Y$ en la primera ecuación: $$BXA = 3(D - C)$$ Para despejar $X$, multiplicamos por $B^{-1}$ por la izquierda y por $A^{-1}$ por la derecha (ambas existen para $a=1$): $$X = B^{-1} \cdot [3(D - C)] \cdot A^{-1} = 3 \cdot B^{-1}(D - C)A^{-1}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial el orden de la multiplicación importa. Si quieres eliminar $B$ por la izquierda, multiplicas por $B^{-1}$ por la izquierda.

Para $a=1$, calculamos las matrices inversas necesarias: **Matriz $A$ y su inversa:** $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ Usando el resultado del apartado anterior para $a=1$: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ **Matriz $B$ y su inversa:** $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \implies |B| = 3(2) - 5(1) = 1$ $B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$ **Matriz $(D - C)$:** $D - C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

Calculamos el producto $X = 3 \cdot B^{-1}(D - C)A^{-1}$ paso a paso. Primero, $M = B^{-1}(D - C)$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 & -2+2 & -2-3 \\ -10+3 & 5-6 & 5+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -5 \\ -7 & -1 & 14 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por $3$: $$3M = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -15 \\ -21 & -3 & 42 \end{pmatrix}$$ Finalmente, multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha: $$X = (3M) A^{-1} = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -15 \\ -21 & -3 & 42 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -15 & -15 \\ -21 & 39 & 42 \end{pmatrix}$$ Operaciones del producto final: - $x_{11} = 9(1) + 0(0) - 15(0) = 9$ - $x_{12} = 9(0) + 0(1) - 15(1) = -15$ - $x_{13} = 9(0) + 0(0) - 15(1) = -15$ - $x_{21} = -21(1) - 3(0) + 42(0) = -21$ - $x_{22} = -21(0) - 3(1) + 42(1) = 39$ - $x_{23} = -21(0) - 3(0) + 42(1) = 42$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 9 & -15 & -15 \\ -21 & 39 & 42 \end{pmatrix}}$$