Continuidad, derivabilidad y cálculo de áreas

**(I) Analiza la continuidad y derivabilidad de la función $f$.** Primero, reescribimos la función $f(x)$ eliminando el valor absoluto. Recordamos que $|x| = -x$ si $x < 0$ y $|x| = x$ si $x \ge 0$: $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{-x}{x^2 - 1} & \text{si } x < 0,\\ \dfrac{x}{x^2 - 1} & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$ **Dominio de la función:** El denominador se anula cuando $x^2 - 1 = 0 \implies x = 1$ y $x = -1$. Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$$ 💡 **Tip:** En los puntos que no pertenecen al dominio, la función nunca puede ser ni continua ni derivable.

La función es continua en todo su dominio por ser un cociente de funciones continuas donde el denominador no se anula. Debemos analizar específicamente los puntos conflictivos: $x = -1$, $x = 1$ y el punto de salto de rama $x = 0$. 1. **En $x = -1$ y $x = 1$:** Como no pertenecen al dominio, existen **asíntotas verticales**. Por ejemplo, para $x=1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x}{x^2-1} = \frac{1}{0} = \infty.$$ Hay discontinuidades no evitables de salto infinito. 2. **En $x = 0$:** - $f(0) = \frac{0}{0-1} = 0.$ - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x^2-1} = \frac{0}{-1} = 0.$$ - Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x^2-1} = \frac{0}{-1} = 0.$$ Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, **$f(x)$ es continua en $x = 0$**. ✅ **Resultado continuidad:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}$$

Calculamos la derivada de cada rama para $x \in \text{Dom}(f)$ y $x \neq 0$: - Si $x < 0$ ($x \neq -1$): $$f'(x) = \frac{-1(x^2-1) - (-x)(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{-x^2+1+2x^2}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$$ - Si $x > 0$ ($x \neq 1$): $$f'(x) = \frac{1(x^2-1) - x(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2} = \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}$$ Estudiamos la derivabilidad en **$x = 0$** comparando las derivadas laterales: - $f'(0^-) = \frac{0^2+1}{(0^2-1)^2} = \frac{1}{1} = 1.$ - $f'(0^+) = \frac{-0^2-1}{(0^2-1)^2} = \frac{-1}{1} = -1.$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función tiene un punto anguloso en $x=0$ y **no es derivable en $x = 0$**. ✅ **Resultado derivabilidad:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}}$$

**(II) Razona si se puede aplicar, o no, el teorema de Rolle en el intervalo $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. En caso afirmativo, calcula el valor $c \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ a que se refiere el teorema de Rolle.** El Teorema de Rolle requiere que la función $f$ cumpla tres condiciones en un intervalo $[a, b]$: 1. Ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Ser derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. Que $f(a) = f(b)$. Analizamos el intervalo $[-1/2, 1/2]$: - **Continuidad:** En el intervalo $[-1/2, 1/2]$ la función es continua, ya que los puntos de discontinuidad ($x = \pm 1$) están fuera de él. - **Derivabilidad:** En el paso anterior demostramos que $f(x)$ **no es derivable en $x = 0$**. Como $0 \in (-1/2, 1/2)$, la función no es derivable en todo el intervalo abierto. Al no cumplirse la condición de derivabilidad, **no se puede aplicar el teorema de Rolle**. 💡 **Tip:** Aunque se cumpliera que $f(-1/2) = f(1/2)$, la falta de derivabilidad en un solo punto del interior del intervalo invalida la aplicación del teorema. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aplicar el Teorema de Rolle porque } f \text{ no es derivable en } x=0 \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})}$$

**(III) Halla el área encerrada por $f$ y el eje de abcisas en el intervalo $[\frac{3}{2}, 4].$** En el intervalo $[3/2, 4]$, la función es $f(x) = \frac{x}{x^2-1}$ (ya que $x > 0$). Además, como $x > 1$ en este intervalo, el denominador $x^2-1$ es siempre positivo, por lo que la función es positiva y el área se calcula directamente como la integral definida: $$A = \int_{3/2}^{4} \frac{x}{x^2-1} \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba si la función cruza el eje $x$ en el intervalo dado. Aquí $\frac{x}{x^2-1}=0$ solo en $x=0$, que está fuera del intervalo $[1.5, 4]$.

Observamos que la integral es de tipo logarítmico, ya que la derivada del denominador ($x^2-1$) es $2x$. Ajustamos la constante: $$A = \frac{1}{2} \int_{3/2}^{4} \frac{2x}{x^2-1} \, dx = \frac{1}{2} \left[ \ln|x^2-1| \right]_{3/2}^{4}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A = \frac{1}{2} \left( \ln|4^2-1| - \ln|\left(\frac{3}{2}\right)^2-1| \right)$$ $$A = \frac{1}{2} \left( \ln(15) - \ln\left(\frac{9}{4}-1\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \ln(15) - \ln\left(\frac{5}{4}\right) \right)$$ Usando propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln(a/b)$): $$A = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{15}{5/4} \right) = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{15 \cdot 4}{5} \right) = \frac{1}{2} \ln(12)$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{1}{2} \ln(12) \approx 1.242 \text{ u}^2}$$