Rectángulo en el espacio y planos

**(I) Determina la ecuación de la recta $r$.** En un rectángulo $PQRS$, los lados opuestos son paralelos. Si $P$ y $Q$ son vértices consecutivos, el lado $PQ$ es paralelo al lado formado por los otros dos vértices (llamémoslos $R$ y $S$). Como el enunciado indica que los vértices $R$ y $S$ pertenecen a la recta $r$, la dirección de esta recta debe coincidir con la del vector $\vec{PQ}$. Calculamos el vector director $\vec{v_r}$ a partir de los puntos $P$ y $Q$: $$\vec{PQ} = Q - P = (0 - 2, 0 - 2, -1 - 1) = (-2, -2, -2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector director de la recta $r$: $$\vec{v_r} = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** En geometría, cualquier vector proporcional a un vector director también es un vector director de la misma recta.

Conocemos el vector director $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$ y sabemos que la recta pasa por el punto $A = (5, 4, 3)$. Podemos expresar la recta en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 3}{1}$$ O en su forma paramétrica (más útil para otros cálculos): $$\begin{cases} x = 5 + \lambda \\ y = 4 + \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{r \equiv x - 5 = y - 4 = z - 3}$$

**(II) Determina la ecuación del plano que contiene al rectángulo.** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto perteneciente al plano y dos vectores directores linealmente independientes (o un vector normal). El plano contiene al rectángulo, por lo que contiene a los puntos $P$, $Q$ y a la recta $r$ (que a su vez contiene al punto $A$). Por tanto, podemos tomar: - **Punto:** $P = (2, 2, 1)$ - **Primer vector director:** $\vec{u} = \vec{PQ} = (-2, -2, -2)$ (o simplificado $\vec{u} = (1, 1, 1)$) - **Segundo vector director:** $\vec{v} = \vec{PA}$, que une un punto del lado $PQ$ con un punto de la recta $r$. Calculamos $\vec{PA}$: $$\vec{PA} = A - P = (5 - 2, 4 - 2, 3 - 1) = (3, 2, 2)$$ 💡 **Tip:** El plano que contiene a dos rectas paralelas se obtiene usando el vector director de las rectas y el vector que une un punto de cada recta.

El vector normal $\vec{n}$ del plano se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores $\vec{u} = (1, 1, 1)$ y $\vec{v} = (3, 2, 2)$: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila: $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \mathbf{i}(2 - 2) - \mathbf{j}(2 - 3) + \mathbf{k}(2 - 3)$$ $$\vec{n} = 0\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (0, 1, -1)$$ $$\boxed{\vec{n} = (0, 1, -1)}$$

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las coordenadas del vector normal $\vec{n} = (0, 1, -1)$. Sustituyendo el vector normal: $$0x + 1y - 1z + D = 0 \implies y - z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(2, 2, 1)$: $$2 - 1 + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$y - z - 1 = 0$$ Podemos verificar con el punto $A(5, 4, 3)$: $4 - 3 - 1 = 0$, lo cual es correcto. ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{y - z - 1 = 0}$$