Probabilidad y actividades extraescolares

**(I) Toma un niño al azar, halla las siguientes probabilidades: $P(MG), P(MUL), P(MP \cap ROB), P(ROB|MP)$ y $P(MG|ING)$.** Primero, definimos los sucesos basados en el enunciado: - $MP$: Niño de 3 a 4 años (Pequeños). - $MG$: Niño de 5 a 6 años (Grandes). - $ING$: Actividad de Inglés. - $MUL$: Actividad de Multideporte. - $ROB$: Actividad de Robótica. Organizamos los datos proporcionados en una **tabla de contingencia** para completar los valores faltantes: 1. Total de niños: $300$. 2. $MP = 100 \implies MG = 300 - 100 = 200$. 3. En $MP$: $82$ en $ING$, $10$ en $MUL$. Por tanto, en $ROB$ hay $100 - 82 - 10 = 8$. 4. Total $ROB = 83 \implies MG \cap ROB = 83 - 8 = 75$. 5. $MG \cap ING = 105$. 6. En $MG$: $200 - 105 - 75 = 20$ en $MUL$. 7. Totales por actividad: $ING = 82 + 105 = 187$; $MUL = 10 + 20 = 30$. $$\begin{array}{c|ccc|c} & ING & MUL & ROB & \text{Total} \\\hline MP & 82 & 10 & 8 & 100 \\ MG & 105 & 20 & 75 & 200 \\\hline \text{Total} & 187 & 30 & 83 & 300 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con varias categorías excluyentes, una tabla de contingencia es la herramienta más clara para visualizar todas las intersecciones.

Utilizando la regla de Laplace ($P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$) y la tabla anterior, calculamos las tres primeras probabilidades: 1. **Probabilidad de ser del grupo de 5-6 años ($MG$):** $$P(MG) = \frac{200}{300} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$ 2. **Probabilidad de estar en Multideporte ($MUL$):** $$P(MUL) = \frac{30}{300} = \frac{1}{10} = 0.1$$ 3. **Probabilidad de ser de 3-4 años y estar en Robótica ($MP \cap ROB$):** $$P(MP \cap ROB) = \frac{8}{300} = \frac{2}{75} \approx 0.0267$$ ✅ **Resultados parciales:** $$\boxed{P(MG) = \frac{2}{3}, \quad P(MUL) = 0.1, \quad P(MP \cap ROB) = \frac{2}{75}}$$

Para las probabilidades condicionadas, usamos la fórmula $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ o directamente los datos de la fila/columna correspondiente de la tabla: 1. **Probabilidad de estar en Robótica sabiendo que es de 3-4 años ($P(ROB|MP)$):** Miramos solo la fila de $MP$ ($100$ niños), de los cuales $8$ hacen Robótica: $$P(ROB|MP) = \frac{8}{100} = 0.08$$ 2. **Probabilidad de ser de 5-6 años sabiendo que hace Inglés ($P(MG|ING)$):** Miramos solo la columna de $ING$ ($187$ niños), de los cuales $105$ son del grupo $MG$: $$P(MG|ING) = \frac{105}{187} \approx 0.5615$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada reduce nuestro espacio muestral al suceso que ya sabemos que ha ocurrido (el denominador). ✅ **Resultados finales (I):** $$\boxed{P(ROB|MP) = 0.08, \quad P(MG|ING) = \frac{105}{187}}$$

**(II) Comprueba que el suceso MUL es independiente de la edad del niño.** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ o, de forma equivalente, si $P(A|B) = P(A)$. Vamos a comprobar si la probabilidad de hacer Multideporte es la misma independientemente de la edad: - Probabilidad total de Multideporte: **$P(MUL) = 0.1$** (calculada anteriormente). - Probabilidad de Multideporte dado que es $MP$: $$P(MUL|MP) = \frac{10}{100} = 0.1$$ - Probabilidad de Multideporte dado que es $MG$: $$P(MUL|MG) = \frac{20}{200} = 0.1$$ Como $P(MUL|MP) = P(MUL|MG) = P(MUL) = 0.1$, el hecho de conocer la edad del niño no aporta información nueva sobre la probabilidad de que realice Multideporte. 💡 **Tip:** Si la proporción de alumnos en una actividad es idéntica en todos los rangos de edad, dicha actividad es independiente de la edad. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{El suceso MUL es independiente de la edad del niño.}}$$