Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**(I) Determina para qué valores del parámetro $a$ existe la inversa de la matriz $A$.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila, ya que contiene dos ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & -a & 2a - 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 0 \\ -a & 2a - 1 \end{vmatrix} - 0 + 0$$ $$|A| = a(2a - 1) - (-a \cdot 0) = a(2a - 1) = 2a^2 - a$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$2a^2 - a = 0 \implies a(2a - 1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $a = 0$ 2. $2a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2}$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz es cero, la matriz es singular y no posee inversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \text{ para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1/2\}}$$

**(II) Halla la inversa de la matriz $A$, cuando exista.** Utilizaremos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Ya sabemos que $|A| = a(2a - 1)$. Primero, calculamos la matriz de adjuntos (cofactores) $C_{ij}$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} a & 0 \\ -a & 2a-1 \end{vmatrix} = a(2a-1)$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2a-1 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & a \\ 0 & -a \end{vmatrix} = 0$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -a & 2a-1 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2a-1 \end{vmatrix} = 2a-1$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -a \end{vmatrix} = a$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ a & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{vmatrix} = a$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} a(2a-1) & 0 & 0 \\ 0 & 2a-1 & a \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$$ Trasponemos la matriz adjunta: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} a(2a-1) & 0 & 0 \\ 0 & 2a-1 & 0 \\ 0 & a & a \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = a(2a-1)$: $$A^{-1} = \frac{1}{a(2a-1)} \begin{pmatrix} a(2a-1) & 0 & 0 \\ 0 & 2a-1 & 0 \\ 0 & a & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2a-1} & \frac{1}{2a-1} \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2a-1} & \frac{1}{2a-1} \end{pmatrix}}$$

**(III) Para $a = 1$ y las matrices $B, C$ y $D$, resuelve el sistema.** El sistema es: 1. $BXA = Y$ 2. $\frac{1}{3}Y + C = D$ Primero despejamos $Y$ de la segunda ecuación: $$\frac{1}{3}Y = D - C \implies Y = 3(D - C)$$ Calculamos la resta $D - C$: $$D - C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-1 & 1-2 & 2-3 \\ 0-(-1) & 0-2 & 0-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por 3: $$Y = 3 \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3 \\ 3 & -6 & 9 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3 \\ 3 & -6 & 9 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos $Y$ en la primera ecuación: $BXA = Y$. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $B^{-1}$ y por la derecha por $A^{-1}$: $$B^{-1}BXAA^{-1} = B^{-1}YA^{-1} \implies X = B^{-1}YA^{-1}$$ Como $a=1$, la matriz $A$ y su inversa (usando la fórmula del apartado II) son: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \implies A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $B^{-1}$ para $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$: $|B| = (3 \cdot 2) - (5 \cdot 1) = 1$. $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(B)^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$ $$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos $X = B^{-1}YA^{-1}$ por pasos: 1. $B^{-1}Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3 \\ 3 & -6 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12-3 & -6+6 & -6-9 \\ -30+9 & 15-18 & 15+27 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -15 \\ -21 & -3 & 42 \end{pmatrix}$ 2. $X = (B^{-1}Y) A^{-1} = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -15 \\ -21 & -3 & 42 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -15 & -15 \\ -21 & 39 & 42 \end{pmatrix}$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden importa. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 9 & -15 & -15 \\ -21 & 39 & 42 \end{pmatrix}}$$