Estudio de continuidad, derivabilidad y cálculo de áreas

**(I) Analiza la continuidad y derivabilidad de la función $f$.** Primero, definimos la función $f(x)$ eliminando el valor absoluto. Sabemos que $|x| = -x$ si $x \lt 0$ y $|x| = x$ si $x \ge 0$. Por tanto: $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{-x}{x^2 - 1} & \text{si } x \lt 0 \\ \dfrac{x}{x^2 - 1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ El dominio de la función viene determinado por el denominador: $x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$. Dado que ambos valores anulan el denominador, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas un valor absoluto, el primer paso debe ser reescribir la función como una función definida a trozos.

Analizamos la continuidad en los puntos conflictivos: 1. **En $x = -1$ y $x = 1$:** La función no es continua ya que no pertenece al dominio (existen asíntotas verticales). 2. **En $x = 0$ (punto de cambio de rama):** - $f(0) = \frac{0}{0^2 - 1} = 0$ - $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$ - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$, la función es **continua en $x = 0$**. En el resto de puntos de su dominio, $f(x)$ es continua por ser un cociente de polinomios donde el denominador no se anula. ✅ **Resultado (Continuidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}$$

Calculamos la derivada en las ramas (fuera de $x=0, \pm 1$): Si $x \lt 0$ (y $x \neq -1$): $$f'(x) = \frac{-1(x^2 - 1) - (-x)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 + 1 + 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2}$$ Si $x \gt 0$ (y $x \neq 1$): $$f'(x) = \frac{1(x^2 - 1) - x(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2}$$ Analizamos la derivabilidad en $x = 0$ mediante las derivadas laterales: - $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2} = \frac{1}{1} = 1$ - $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-1}{1} = -1$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$** (presenta un punto anguloso). ✅ **Resultado (Derivabilidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}}$$

**(II) Razona si se puede aplicar, o no, el teorema de Rolle en el intervalo $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. En caso afirmativo, calcula el valor $c \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ a que se refiere el teorema de Rolle.** Para aplicar el Teorema de Rolle en $[a, b]$, se deben cumplir tres condiciones: 1. $f(x)$ continua en $[a, b]$. 2. $f(x)$ derivable en $(a, b)$. 3. $f(a) = f(b)$. Comprobamos en el intervalo $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$: - **Continuidad:** $f(x)$ es continua en $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ ya que el único punto de discontinuidad es $\pm 1$, que están fuera. - **Derivabilidad:** En el paso anterior vimos que $f(x)$ **no es derivable en $x = 0$**. Como $0 \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, la función no es derivable en todo el intervalo abierto. Al no cumplirse la condición de derivabilidad, **no se puede aplicar el Teorema de Rolle**. 💡 **Tip:** Para aplicar Rolle o el Teorema del Valor Medio, la función debe ser derivable en todos los puntos internos del intervalo. Basta con que falle en uno para que el teorema no sea aplicable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aplicar el teorema de Rolle porque } f \text{ no es derivable en } x = 0 \in (-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})}$$

**(III) Halla el área encerrada por $f$ y el eje de abcisas en el intervalo $[\frac{3}{2}, 4].$** En el intervalo $[\frac{3}{2}, 4]$, se cumple que $x \gt 0$, por lo que $f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$. Además, en este intervalo $x^2 - 1 \gt 0$, por lo que la función es siempre positiva. El área es: $$A = \int_{3/2}^{4} \frac{x}{x^2 - 1} \, dx$$ Esta integral es de tipo casi-logarítmica, ya que la derivada del denominador $x^2 - 1$ es $2x$. Ajustamos la constante: $$\int \frac{x}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C$$

Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| \right]_{3/2}^{4} = \frac{1}{2} \left( \ln|4^2 - 1| - \ln|(\tfrac{3}{2})^2 - 1| \right)$$ Calculamos los valores: - $4^2 - 1 = 15$ - $(\frac{3}{2})^2 - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$ $$A = \frac{1}{2} \left( \ln(15) - \ln\left(\frac{5}{4}\right) \right) = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{15}{5/4} \right) = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{15 \cdot 4}{5} \right)$$ $$A = \frac{1}{2} \ln(12) \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda las propiedades de los logaritmos: $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$ y $k \ln a = \ln a^k$. Podrías escribirlo también como $\ln(\sqrt{12})$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{1}{2} \ln(12) \approx 1.242 \text{ u}^2}$$