Distribución Normal: Peso de niños según la OMS

Lo primero es definir la variable aleatoria y sus parámetros. Sea $X$ la variable que representa el peso de un niño de 5 años en kg. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(18.5, 2.25)$$ Donde: - Media $\mu = 18.5$ - Desviación típica $\sigma = 2.25$ Para poder utilizar la tabla de la normal estándar, realizaremos el proceso de **tipificación** utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite transformar cualquier normal $N(\mu, \sigma)$ en una normal estándar $N(0, 1)$ para buscar las probabilidades en las tablas.

**(I) cuyo peso es superior a 23 kg.** Buscamos la probabilidad $P(X \gt 23)$. Tipificamos el valor $23$: $$Z = \frac{23 - 18.5}{2.25} = \frac{4.5}{2.25} = 2$$ Entonces: $$P(X \gt 23) = P(Z \gt 2)$$ Como la tabla de la normal estándar nos da valores para $P(Z \le z)$, usamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscando en la tabla el valor para $z = 2$: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ $$P(Z \gt 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ Para expresar el resultado en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.0228 \cdot 100 = 2.28\%$$ ✅ **Resultado (I):** $$\boxed{2.28\%}$$

**(II) cuyo peso está entre 15 y 23 kg.** Buscamos la probabilidad $P(15 \lt X \lt 23)$. Tipificamos ambos valores: - Para $x = 15$: $Z_1 = \frac{15 - 18.5}{2.25} = \frac{-3.5}{2.25} \approx -1.56$ - Para $x = 23$: $Z_2 = 2$ (ya calculado anteriormente) La probabilidad solicitada es: $$P(15 \lt X \lt 23) = P(-1.56 \lt Z \lt 2)$$ $$P(-1.56 \lt Z \lt 2) = P(Z \lt 2) - P(Z \lt -1.56)$$ Debido a la simetría de la campana de Gauss, $P(Z \lt -1.56) = P(Z \gt 1.56)$. Y por la propiedad del complementario: $$P(Z \lt -1.56) = 1 - P(Z \le 1.56)$$ Buscamos en la tabla $P(Z \le 1.56) = 0.9406$: $$P(Z \lt -1.56) = 1 - 0.9406 = 0.0594$$ Finalmente: $$P(-1.56 \lt Z \lt 2) = 0.9772 - 0.0594 = 0.9178$$ Expresamos como porcentaje: $$0.9178 \cdot 100 = 91.78\%$$ 💡 **Tip:** Para calcular el área entre dos valores $a$ y $b$, siempre restamos la probabilidad acumulada del mayor menos la del menor: $P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)$. ✅ **Resultado (II):** $$\boxed{91.78\%}$$