Módulo y ángulo de vectores en una base no ortonormal

**(I) Calcula el módulo de los vectores $u$ y $v$.** Antes de calcular los módulos, debemos determinar los productos escalares entre los vectores de la base $\{e_1, e_2, e_3\}$. El enunciado nos indica que son vectores **unitarios** y que el ángulo entre ellos es de $45^\circ$. 1. **Módulos:** $|e_1| = |e_2| = |e_3| = 1$. 2. **Productos escalares de vectores iguales:** $e_i \cdot e_i = |e_i|^2 = 1^2 = 1$. 3. **Productos escalares de vectores distintos:** Como el ángulo $\alpha = 45^\circ$, usamos la definición de producto escalar: $$e_i \cdot e_j = |e_i| \cdot |e_j| \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{para } i \neq j.$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores es $a \cdot b = |a||b|\cos(\theta)$. Si la base no es ortonormal (como en este caso), no podemos simplemente sumar productos de coordenadas; hay que desarrollar el producto escalar de las combinaciones lineales.

Para hallar el módulo de $u = e_1 + e_2$, calculamos primero su cuadrado utilizando el producto escalar: $$|u|^2 = u \cdot u = (e_1 + e_2) \cdot (e_1 + e_2)$$ Desarrollamos aplicando la propiedad distributiva: $$|u|^2 = e_1 \cdot e_1 + e_1 \cdot e_2 + e_2 \cdot e_1 + e_2 \cdot e_2$$ $$|u|^2 = |e_1|^2 + 2(e_1 \cdot e_2) + |e_2|^2$$ Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior: $$|u|^2 = 1 + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 1 = 1 + \sqrt{2} + 1 = 2 + \sqrt{2}$$ Por tanto, el módulo es: $$\boxed{|u| = \sqrt{2 + \sqrt{2}}}$$

Para el vector $v = e_1 - e_2 + e_3$, procedemos de la misma forma: $$|v|^2 = v \cdot v = (e_1 - e_2 + e_3) \cdot (e_1 - e_2 + e_3)$$ Desarrollamos el producto (teniendo en cuenta que el producto escalar es conmutativo, $e_i \cdot e_j = e_j \cdot e_i$): $$|v|^2 = e_1 \cdot e_1 + e_2 \cdot e_2 + e_3 \cdot e_3 - 2(e_1 \cdot e_2) + 2(e_1 \cdot e_3) - 2(e_2 \cdot e_3)$$ Sustituimos los valores de la base: $$|v|^2 = 1 + 1 + 1 - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$|v|^2 = 3 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}$$ El módulo de $v$ es: $$\boxed{|v| = \sqrt{3 - \sqrt{2}}}$$

**(II) Calcula el coseno del ángulo formado por los vectores $u$ y $v$.** Necesitamos el producto escalar $u \cdot v$ para aplicar la fórmula del coseno. Dados $u = e_1 + e_2$ y $v = e_1 - e_2 + e_3$: $$u \cdot v = (e_1 + e_2) \cdot (e_1 - e_2 + e_3)$$ Distribuimos el producto: $$u \cdot v = e_1 \cdot e_1 - e_1 \cdot e_2 + e_1 \cdot e_3 + e_2 \cdot e_1 - e_2 \cdot e_2 + e_2 \cdot e_3$$ Agrupamos términos y simplificamos (notamos que $- e_1 \cdot e_2$ y $+ e_2 \cdot e_1$ se anulan): $$u \cdot v = |e_1|^2 - |e_2|^2 + e_1 \cdot e_3 + e_2 \cdot e_3$$ $$u \cdot v = 1 - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ ✅ **Resultado del producto escalar:** $$u \cdot v = \sqrt{2}$$

Aplicamos la fórmula del coseno del ángulo $\theta$ entre dos vectores: $$\cos(\theta) = \frac{u \cdot v}{|u| \cdot |v|}$$ Sustituimos los valores calculados en los apartados anteriores: $$\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2}}}$$ Introducimos todo bajo una única raíz en el denominador: $$\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(2 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})}}$$ Efectuamos el producto del radicando: $$(2 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 6 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2 = 6 + \sqrt{2} - 2 = 4 + \sqrt{2}$$ Finalmente: $$\boxed{\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4 + \sqrt{2}}}}$$ 💡 **Tip:** No es necesario racionalizar ni extraer el valor decimal a menos que el enunciado lo pida explícitamente. La expresión exacta con raíces es la respuesta más rigurosa.