Distribución normal de puntuaciones en una prueba

**a) ¿Qué porcentaje del alumnado tiene una puntuación entre 30 y 60 puntos?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa la puntuación obtenida por los estudiantes. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(40, 10)$$ Donde: - Media: $\mu = 40$ - Desviación típica: $\sigma = 10$ - Número total de estudiantes: $n = 500$ Para trabajar con las tablas de la normal estándar, utilizaremos el proceso de tipificación. 💡 **Tip:** Recuerda que para tipificar una variable $X \sim N(\mu, \sigma)$, realizamos el cambio $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$, donde $Z \sim N(0, 1)$.

Buscamos la probabilidad de que un alumno tenga una puntuación entre 30 y 60, es decir, $p(30 \le X \le 60)$. Tipificamos los valores: $$p(30 \le X \le 60) = p\left(\frac{30 - 40}{10} \le Z \le \frac{60 - 40}{10}\right)$$ $$= p(-1 \le Z \le 2)$$ Descomponemos la probabilidad utilizando las propiedades de la función de distribución: $$p(-1 \le Z \le 2) = p(Z \le 2) - p(Z \le -1)$$ Como la distribución es simétrica, $p(Z \le -1) = p(Z \ge 1) = 1 - p(Z \le 1)$. Por tanto: $$p(Z \le 2) - [1 - p(Z \le 1)] = p(Z \le 2) + p(Z \le 1) - 1$$ Consultamos los valores en la tabla de la normal $N(0, 1)$: - $p(Z \le 2) = 0.9772$ - $p(Z \le 1) = 0.8413$ Sustituimos: $$0.9772 + 0.8413 - 1 = 0.8185$$ Convertimos a porcentaje multiplicando por 100: $$0.8185 \cdot 100 = 81.85\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{81.85\%}$$

**b) ¿Cuántos estudiantes tienen una puntuación superior a 60 puntos?** Primero calculamos la probabilidad de que un estudiante obtenga más de 60 puntos, $p(X \gt 60)$. Tipificamos de nuevo: $$p(X \gt 60) = p\left(Z \gt \frac{60 - 40}{10}\right) = p(Z \gt 2)$$ Usamos la propiedad del suceso complementario: $$p(Z \gt 2) = 1 - p(Z \le 2)$$ Consultamos el valor en la tabla: $$p(Z \gt 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la tabla de la normal estándar suele dar la probabilidad acumulada hacia la izquierda, $p(Z \le k)$.

Para hallar el número de estudiantes, multiplicamos la probabilidad obtenida por el tamaño total de la muestra ($n = 500$): $$\text{Número de estudiantes} = n \cdot p(X \gt 60)$$ $$\text{Número de estudiantes} = 500 \cdot 0.0228 = 11.4$$ Dado que hablamos de personas, redondeamos al número entero más próximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{11 \text{ estudiantes (aprox.)}}$$