Cálculo de una integral racional por descomposición en fracciones simples

Para resolver la integral $$\int \frac{8x + 7}{(x + 1)(x + 3)}dx$$ observamos que se trata de una **integral racional** donde el grado del numerador ($n=1$) es menor que el grado del denominador ($n=2$). El denominador ya se presenta factorizado con dos raíces reales distintas: **$x = -1$** y **$x = -3$**. Por lo tanto, el método más adecuado es el de **descomposición en fracciones simples**. 💡 **Tip:** Cuando el denominador tiene raíces reales simples, la fracción se puede descomponer como una suma de fracciones del tipo $\frac{A}{x-a}$.

Planteamos la igualdad para descomponer la fracción original en la suma de dos fracciones más sencillas: $$\frac{8x + 7}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$$ Para hallar los valores de $A$ y $B$, igualamos los numeradores tras obtener un denominador común: $$8x + 7 = A(x + 3) + B(x + 1)$$ Esta igualdad debe cumplirse para cualquier valor de $x$. Utilizaremos los valores de las raíces para simplificar el cálculo. $$\boxed{8x + 7 = A(x + 3) + B(x + 1)}$$

Sustituimos los valores de las raíces del denominador en la ecuación anterior: 1. Para **$x = -1$**: $$8(-1) + 7 = A(-1 + 3) + B(-1 + 1)$$ $$-8 + 7 = 2A + 0$$ $$-1 = 2A \implies \mathbf{A = -\frac{1}{2}}$$ 2. Para **$x = -3$**: $$8(-3) + 7 = A(-3 + 3) + B(-3 + 1)$$ $$-24 + 7 = 0 + B(-2)$$ $$-17 = -2B \implies \mathbf{B = \frac{17}{2}}$$ 💡 **Tip:** Al sustituir las raíces directamente, uno de los términos siempre se anula, lo que facilita encontrar las constantes rápidamente.

Sustituimos los valores obtenidos de $A$ y $B$ en la integral original: $$\int \frac{8x + 7}{(x + 1)(x + 3)}dx = \int \left( \frac{-1/2}{x + 1} + \frac{17/2}{x + 3} \right) dx$$ Por la propiedad de linealidad de la integral, podemos separarla en dos integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$= -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} dx + \frac{17}{2} \int \frac{1}{x + 3} dx$$ Resolvemos aplicando la fórmula $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$: $$= -\frac{1}{2} \ln|x + 1| + \frac{17}{2} \ln|x + 3| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{8x + 7}{(x + 1)(x + 3)}dx = -\frac{1}{2} \ln|x + 1| + \frac{17}{2} \ln|x + 3| + C}$$