Monotonía, extremos y representación de una función polinómica

Para estudiar el crecimiento y los extremos de una función, primero debemos hallar su derivada y encontrar los puntos donde esta se anula (puntos críticos). La función es un polinomio: $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$. Su dominio es todo $\mathbb{R}$. Calculamos la primera derivada: $$f'(x) = 3x^2 + 6x$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$3x^2 + 6x = 0 \implies 3x(x + 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: - $x = 0$ - $x = -2$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos son los candidatos a ser máximos o mínimos relativos. En una función polinómica, el crecimiento solo cambia en estos puntos. $$\boxed{f'(x) = 3x^2 + 6x, \quad \text{Puntos críticos: } x = -2, x = 0}$$

Dividimos la recta real en intervalos usando los puntos críticos encontrados ($x = -2$ y $x = 0$) y estudiamos el signo de $f'(x)$ en cada uno. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,0) & 0 & (0,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ **Justificación del signo:** - Para $x \in (-\infty, -2)$, tomamos $x = -3$: $f'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0$ (**creciente**). - Para $x \in (-2, 0)$, tomamos $x = -1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0$ (**decreciente**). - Para $x \in (0, +\infty)$, tomamos $x = 1$: $f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 9 > 0$ (**creciente**). ✅ **Intervalos de monotonía:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, -2) \cup (0, +\infty) \quad \text{Decrecimiento: } (-2, 0)}$$

A partir del análisis de monotonía anterior, identificamos los máximos y mínimos relativos: 1. En $x = -2$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $$y = f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2$$ 2. En $x = 0$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $$y = f(0) = (0)^3 + 3(0)^2 - 2 = -2$$ 💡 **Tip:** Para confirmar si es máximo o mínimo también puedes usar la segunda derivada $f''(x) = 6x + 6$. Si $f''(a) \lt 0$ es máximo; si $f''(a) \gt 0$ es mínimo. ✅ **Extremos relativos:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-2, 2) \quad \text{Mínimo relativo en } (0, -2)}$$

Para representar la función $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$, utilizamos los puntos calculados (extremos) y observamos su comportamiento en el infinito: - Cuando $x \to +\infty, f(x) \to +\infty$. - Cuando $x \to -\infty, f(x) \to -\infty$. - Puntos de corte con el eje $Y$: $(0, -2)$. Representamos la gráfica a continuación: