Ecuación del plano que contiene una recta y un punto exterior

Para determinar la ecuación de un plano $\pi$ que contiene a una recta $r$ y a un punto $P$, necesitamos un punto del plano y dos vectores directores linealmente independientes que pertenezcan al mismo. A partir de la ecuación continua de la recta $r$: $$r \equiv \frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Podemos identificar directamente: - Un punto de la recta: $A(1, 2, 3)$. - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (1, 2, 3)$. Como el plano contiene a la recta $r$, el punto $A$ también pertenecerá al plano y $\vec{v}_r$ será uno de sus vectores directores. 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-a}{d_1} = \frac{y-b}{d_2} = \frac{z-c}{d_3}$, el punto es $(a, b, c)$ y el vector es $(d_1, d_2, d_3)$.

Como el punto $P(1, 2, 5)$ pertenece al plano y el punto $A(1, 2, 3)$ de la recta también, el vector que los une, $\vec{AP}$, será el segundo vector director necesario para definir el plano. Calculamos las componentes del vector $\vec{AP}$ restando las coordenadas del origen a las del extremo: $$\vec{AP} = P - A = (1 - 1, 2 - 2, 5 - 3) = (0, 0, 2)$$ Ahora tenemos: - Punto: $P(1, 2, 5)$ (o el punto $A$). - Vector 1: $\vec{v}_r = (1, 2, 3)$. - Vector 2: $\vec{AP} = (0, 0, 2)$. Como los vectores no son proporcionales (no existe $k$ tal que $(1,2,3) = k(0,0,2)$), determinan un plano único.

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{AP}$. $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus o desarrollo por una fila: $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = (4 - 0)\mathbf{i} - (2 - 0)\mathbf{j} + (0 - 0)\mathbf{k} = (4, -2, 0)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 2 para trabajar con valores más sencillos: $$\vec{n} = (2, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al normal también sirve para definir la orientación del plano.

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n}$. Sustituimos las componentes de $\vec{n} = (2, -1, 0)$: $$2x - y + 0z + D = 0 \implies 2x - y + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(1, 2, 5)$: $$2(1) - (2) + D = 0$$ $$2 - 2 + D = 0 \implies D = 0$$ Por tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{2x - y = 0}$$ Como comprobación, vemos que el punto $A(1, 2, 3)$ de la recta también cumple la ecuación: $2(1) - 2 = 0$.