Propiedades de los determinantes

**Calcular de forma razonada el valor del determinante de la matriz obtenida tras aplicar: a) se cambian entre sí la primera y segunda fila, b) se multiplica a la tercera columna por $-2$, c) se multiplica a toda la matriz por 2 y d) se traspone la matriz.** Partimos de una matriz $A$ de orden $3$ tal que $|A| = 5$. La primera operación consiste en intercambiar la primera y la segunda fila ($F_1 \leftrightarrow F_2$). Una de las propiedades fundamentales de los determinantes establece que si se intercambian dos filas (o dos columnas) entre sí, el determinante **cambia de signo**. Si llamamos $A_1$ a la matriz resultante de esta operación: $$|A_1| = -|A| = -5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el intercambio de dos líneas paralelas (filas o columnas) siempre multiplica el valor del determinante por $-1$.

La segunda operación consiste en multiplicar la tercera columna por $-2$ ($C_3 \to -2 \cdot C_3$). Propiedad: Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número real $k$, el determinante de la matriz queda **multiplicado por dicho número**. Si llamamos $A_2$ a la matriz tras este cambio: $$|A_2| = -2 \cdot |A_1| = -2 \cdot (-5) = 10$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad es la que permite "sacar factor común" de una sola fila o columna fuera del determinante.

La tercera operación consiste en multiplicar toda la matriz por 2 ($A_3 = 2 \cdot A_2$). Propiedad: Si $M$ es una matriz de orden $n$, entonces el determinante de la matriz multiplicada por un escalar $k$ es $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$. En este caso, la matriz es de tamaño $3 \times 3$ (orden $n=3$), por lo que al multiplicar toda la matriz por $2$, cada una de las tres filas queda multiplicada por $2$: $$|A_3| = |2 \cdot A_2| = 2^3 \cdot |A_2| = 8 \cdot 10 = 80$$ 💡 **Tip:** Es un error común olvidar el exponente $n$. Multiplicar una matriz por $k$ afecta a todas sus filas; como hay $n$ filas, el factor $k$ sale fuera del determinante elevado a $n$.

La última operación consiste en trasponer la matriz ($A_4 = A_3^T$). Propiedad: El determinante de una matriz es **igual al determinante de su traspuesta**, es decir, $|M| = |M^T|$. Por lo tanto, la trasposición no altera el valor obtenido en el paso anterior: $$|A_4| = |A_3^T| = |A_3| = 80$$ Resumiendo los pasos realizados: $|A_{final}| = (-1) \cdot (-2) \cdot 2^3 \cdot 5 = 2 \cdot 8 \cdot 5 = 80$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{|A_{final}| = 80}$$