Probabilidad total y Teorema de Bayes: El problema de las tres monedas

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos básicos según el enunciado: - $R$: Elegir la moneda normal. - $L$: Elegir la moneda con dos caras. - $M$: Elegir la moneda trucada. - $C$: Obtener cara al lanzar la moneda. - $\bar{C}$: Obtener cruz al lanzar la moneda. Como se elige una moneda al azar entre tres, tenemos que $P(R) = P(L) = P(M) = 1/3$. Las probabilidades de obtener cara para cada moneda son: - Moneda $R$: $P(C|R) = 1/2$ y $P(\bar{C}|R) = 1/2$. - Moneda $L$: $P(C|L) = 1$ y $P(\bar{C}|L) = 0$. - Moneda $M$: $P(C|M) = 1/5$ y $P(\bar{C}|M) = 4/5$. Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

**a) Calcular la probabilidad que se obtenga cara.** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La probabilidad de obtener cara $P(C)$ es la suma de las probabilidades de obtener cara con cada una de las monedas: $$P(C) = P(R) \cdot P(C|R) + P(L) \cdot P(C|L) + P(M) \cdot P(C|M)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(C) = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot 1\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)$$ $$P(C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$$ Para sumar las fracciones, buscamos el mínimo común múltiplo de $6, 3$ y $15$, que es $30$: $$P(C) = \frac{5}{30} + \frac{10}{30} + \frac{2}{30} = \frac{17}{30}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios "caminos" o causas disjuntas que forman una partición del espacio muestral. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C) = \frac{17}{30} \approx 0.5667}$$

**b) Si ha salido cruz, ¿cuál es la probabilidad que sea la moneda $R$?** Primero, necesitamos conocer la probabilidad de que salga cruz, $P(\bar{C})$. Dado que salir cara y salir cruz son sucesos contrarios, podemos usar el complementario: $$P(\bar{C}) = 1 - P(C)$$ $$P(\bar{C}) = 1 - \frac{17}{30} = \frac{13}{30}$$ Alternativamente, podríamos haberlo calculado sumando las ramas de "cruz" del árbol: $$P(\bar{C}) = P(R)P(\bar{C}|R) + P(L)P(\bar{C}|L) + P(M)P(\bar{C}|M)$$ $$P(\bar{C}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{6} + 0 + \frac{4}{15} = \frac{5+8}{30} = \frac{13}{30}$$

Para hallar la probabilidad de que la moneda sea la $R$ sabiendo que ha salido cruz ($P(R|\bar{C})$), aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(R|\bar{C}) = \frac{P(R \cap \bar{C})}{P(\bar{C})} = \frac{P(R) \cdot P(\bar{C}|R)}{P(\bar{C})}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(R|\bar{C}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{13}{30}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{13}{30}}$$ Operamos con las fracciones: $$P(R|\bar{C}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{30}{13} = \frac{30}{78}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $6$: $$P(R|\bar{C}) = \frac{5}{13}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado (ha salido cruz) y queremos saber la probabilidad de la causa (qué moneda era). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R|\bar{C}) = \frac{5}{13} \approx 0.3846}$$