Área de un recinto limitado por dos parábolas

Para delimitar el recinto $R$ y establecer los límites de integración, primero debemos encontrar los puntos donde las dos curvas se cortan. Igualamos ambas funciones: $$x(3 - x) = x^2$$ $$3x - x^2 = x^2$$ Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$2x^2 - 3x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(2x - 3) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $x = 0$ 2. $2x - 3 = 0 \implies x = \dfrac{3}{2} = 1,5$ Los puntos de corte son $(0, 0)$ y $(1,5; 2,25)$. Estos serán nuestros **límites de integración**. 💡 **Tip:** Para hallar los puntos de corte entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, siempre debemos resolver la ecuación $f(x) = g(x)$.

Analizamos las funciones para dibujarlas: - $f(x) = x(3 - x) = -x^2 + 3x$ es una parábola cóncava (hacia abajo) con raíces en $x=0$ y $x=3$. Su vértice está en $x = 1,5$. - $g(x) = x^2$ es una parábola convexa (hacia arriba) con vértice en el origen $(0,0)$. El recinto $R$ es la región encerrada entre ambas parábolas desde $x=0$ hasta $x=1,5$. En este intervalo, la función que queda por encima (techo) es $f(x) = 3x - x^2$ y la que queda por debajo (suelo) es $g(x) = x^2$. **Representación gráfica:**

El área del recinto $R$ se calcula mediante la integral definida de la diferencia entre la función superior e inferior en el intervalo $[0; 1,5]$: $$A = \int_{0}^{1,5} [f(x) - g(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{0}^{1,5} [x(3 - x) - x^2] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{1,5} (3x - x^2 - x^2) \, dx$$ $$A = \int_{0}^{1,5} (3x - 2x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos curvas se define como $\int_{a}^{b} (\text{superior} - \text{inferior}) \, dx$. Si no estás seguro de cuál es cuál, puedes tomar el valor absoluto del resultado final.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (3x - 2x^2) \, dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $0$ y $1,5$ (o $3/2$ para mayor precisión fraccionaria): $$A = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1,5}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = 1,5 = 3/2$): $$F(1,5) = \frac{3(3/2)^2}{2} - \frac{2(3/2)^3}{3} = \frac{3(9/4)}{2} - \frac{2(27/8)}{3}$$ $$F(1,5) = \frac{27/4}{2} - \frac{54/8}{3} = \frac{27}{8} - \frac{54}{24}$$ $$F(1,5) = \frac{27}{8} - \frac{18}{8} = \frac{9}{8} = 1,125$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = \frac{3(0)^2}{2} - \frac{2(0)^3}{3} = 0$$ Restamos ambos valores: $$A = 1,125 - 0 = 1,125 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{9}{8} = 1,125 \text{ u}^2}$$