Cálculo de parámetros y extremos locales

**a) Obtener los valores de $A, B$ y $C$ para que su gráfica contenga al punto $P(0, 1)$ y para que $f$ tenga un mínimo local en el punto $Q(2, 0)$.** El enunciado nos da tres condiciones fundamentales para determinar las tres incógnitas ($A, B$ y $C$): 1. La gráfica pasa por $P(0, 1)$, por lo tanto: $f(0) = 1$. 2. La gráfica pasa por $Q(2, 0)$, por lo tanto: $f(2) = 0$. 3. Hay un mínimo local en $x=2$, lo que implica que la derivada en ese punto es cero: $f'(2) = 0$. Calculamos primero la derivada genérica de $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$: $$f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica, entonces $f(x_0) = y_0$. Si además es un extremo relativo (máximo o mínimo), se debe cumplir que $f'(x_0) = 0$.

Aplicamos las condiciones anteriores al modelo de la función: - **Condición 1:** $f(0) = 1$ $$0^3 + A(0)^2 + B(0) + C = 1 \implies \mathbf{C = 1}$$ - **Condición 2:** $f(2) = 0$ $$2^3 + A(2)^2 + B(2) + 1 = 0 \implies 8 + 4A + 2B + 1 = 0 \implies 4A + 2B = -9$$ - **Condición 3:** $f'(2) = 0$ $$3(2)^2 + 2A(2) + B = 0 \implies 12 + 4A + B = 0 \implies 4A + B = -12$$ Ahora resolvemos el sistema formado por las dos últimas ecuaciones: $$\begin{cases} 4A + 2B = -9 \\ 4A + B = -12 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera: $$(4A - 4A) + (2B - B) = -9 - (-12) \implies \mathbf{B = 3}$$ Sustituimos $B = 3$ en la ecuación $4A + B = -12$: $$4A + 3 = -12 \implies 4A = -15 \implies \mathbf{A = -\frac{15}{4} = -3,75}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = -\frac{15}{4}, \quad B = 3, \quad C = 1}$$

Para asegurar que en $x=2$ hay realmente un mínimo, comprobamos la segunda derivada: $$f''(x) = 6x + 2A = 6x + 2\left(-\frac{15}{4}\right) = 6x - \frac{15}{2}$$ Evaluamos en $x=2$: $$f''(2) = 6(2) - 7,5 = 12 - 7,5 = 4,5$$ Como $f''(2) \gt 0$, confirmamos que se trata de un **mínimo local**.

**b) ¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos locales?.** Con los valores obtenidos, la función es $f(x) = x^3 - \frac{15}{4}x^2 + 3x + 1$ y su derivada es: $$f'(x) = 3x^2 - \frac{15}{2}x + 3$$ Para hallar otros posibles extremos, igualamos la derivada a cero: $$3x^2 - 7,5x + 3 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por $3$ para simplificar: $$x^2 - 2,5x + 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{2,5 \pm \sqrt{(-2,5)^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{2,5 \pm \sqrt{6,25 - 4}}{2} = \frac{2,5 \pm \sqrt{2,25}}{2}$$ $$x = \frac{2,5 \pm 1,5}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{2,5 + 1,5}{2} = \frac{4}{2} = 2$ (el mínimo ya conocido). 2. $x_2 = \frac{2,5 - 1,5}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$. 💡 **Tip:** Los puntos donde $f'(x)=0$ son los candidatos a extremos relativos (puntos críticos).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por las raíces $x=0,5$ y $x=2$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0,5) & 0,5 & (0,5, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $x = 0,5$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo local**. - Calculamos su ordenada: $f(0,5) = (0,5)^3 - 3,75(0,5)^2 + 3(0,5) + 1 = 0,125 - 0,9375 + 1,5 + 1 = 1,6875 = \frac{27}{16}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, tiene un máximo local en } x = 0,5 \text{ con valor } f(0,5) = 1,6875}$$