Recta paralela a un plano

**Hallar la ecuación de una recta paralela al plano $\pi \equiv x + 2y + 3z = 6$ y que contenga al punto $P(1, 0, 0)$. ¿Es única dicha recta? Razonar la respuesta.** Para que una recta $r$ sea paralela a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Del enunciado, el plano es $\pi \equiv x + 2y + 3z = 6$, por lo que su vector normal se extrae directamente de los coeficientes de $x, y, z$: $$\vec{n}_\pi = (1, 2, 3)$$ Si llamamos $\vec{v}_r = (v_x, v_y, v_z)$ al vector director de la recta buscada, la condición de perpendicularidad implica que su producto escalar debe ser cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0 \implies (v_x, v_y, v_z) \cdot (1, 2, 3) = 0$$ $$v_x + 2v_y + 3v_z = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es paralela a un plano, no «pincha» al plano, por lo que su dirección es «perpendicular» a la dirección normal del plano.

Como solo necesitamos **una** recta, basta con encontrar cualquier combinación de valores $(v_x, v_y, v_z)$ que satisfaga la ecuación $v_x + 2v_y + 3v_z = 0$. Podemos fijar dos valores arbitrarios y despejar el tercero. Por ejemplo: - Si hacemos $v_y = 1$ y $v_z = 0$: $$v_x + 2(1) + 3(0) = 0 \implies v_x = -2$$ Obtenemos el vector $\vec{v}_r = (-2, 1, 0)$. Comprobamos el producto escalar: $$(-2, 1, 0) \cdot (1, 2, 3) = -2 + 2 + 0 = 0$$ 💡 **Tip:** Para encontrar un vector perpendicular a $(A, B, C)$, una técnica rápida es intercambiar dos componentes, cambiar el signo a una de ellas y hacer la tercera cero. Por ejemplo, $(-B, A, 0)$ siempre es perpendicular a $(A, B, C)$ si $C$ no importa. $$\boxed{\vec{v}_r = (-2, 1, 0)}$$

Con el punto $P(1, 0, 0)$ y el vector director $\vec{v}_r = (-2, 1, 0)$, podemos escribir la ecuación de la recta en forma continua o paramétrica. **Ecuación continua:** $$r \equiv \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 0}{1}; \quad z = 0$$ **Ecuación paramétrica:** $$r \equiv \begin{cases} x = 1 - 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ Como el ejercicio no especifica el tipo de ecuación, daremos la paramétrica por ser muy clara. ✅ **Resultado (una posible recta):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 1 - 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{cases}}$$

**¿Es única dicha recta? Razonar la respuesta.** **No, la recta no es única.** Existen infinitas rectas que pasan por el punto $P(1, 0, 0)$ y son paralelas al plano $\pi$. **Razonamiento geométrico:** Todas las rectas que pasan por $P$ y son paralelas a $\pi$ están contenidas en un plano $\pi'$ que es paralelo a $\pi$ y pasa por $P$. Como en un plano hay infinitas direcciones, existen infinitas rectas posibles. **Razonamiento algebraico:** La condición $v_x + 2v_y + 3v_z = 0$ es la ecuación de un plano en el espacio de vectores. Cualquier vector que pertenezca a ese plano de vectores (que tiene infinitos vectores no proporcionales entre sí) servirá como vector director de una recta válida. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{No es única, existen infinitas rectas.}}$$