Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetro

Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, primero definimos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$. Las matrices son: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & A \end{pmatrix}; \quad M^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \mid & 6 \\ 1 & 1 & -1 & \mid & 1 \\ 2 & -2 & A & \mid & A \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.

Calculamos el determinante de $M$ para encontrar los valores críticos de $A$ que cambian el rango de la matriz. Aplicamos la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & A \end{vmatrix}$$ $$|M| = (1 \cdot 1 \cdot A) + (2 \cdot (-1) \cdot 2) + (3 \cdot 1 \cdot (-2)) - [ (3 \cdot 1 \cdot 2) + ((-2) \cdot (-1) \cdot 1) + (A \cdot 1 \cdot 2) ]$$ $$|M| = (A - 4 - 6) - (6 + 2 + 2A)$$ $$|M| = A - 10 - 8 - 2A = -A - 18$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los puntos críticos: $$-A - 18 = 0 \implies \mathbf{A = -18}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz es igual al número de incógnitas.

Si $A \neq -18$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Esto implica que: - $\text{rango}(M) = 3$ - Como la matriz ampliada $M^*$ solo puede tener como máximo rango 3 (tiene 3 filas), y contiene a $M$, entonces $\text{rango}(M^*) = 3$. - El número de incógnitas es 3 ($x, y, z$). Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rango}(M) = \text{rango}(M^*) = 3$, el sistema es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } A \neq -18, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $A = -18$, el determinante $|M| = 0$, por lo que $\text{rango}(M) \lt 3$. Comprobamos el rango de $M$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(M) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada $M^*$ para $A = -18$: $$M^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & -18 & -18 \end{pmatrix}$$ Analizamos el menor de orden 3 formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -18 \end{vmatrix} = (-18 + 4 - 12) - (12 - 2 - 36) = -26 - (-26) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que podemos formar con la columna de términos independientes dan cero (puedes observar que la fila 3 es combinación lineal de las otras: $F_3 = -4F_1 + 6F_2$), concluimos que $\text{rango}(M^*) = 2$. 💡 **Tip:** Siempre comprueba si la fila de la ampliada es proporcional o combinación de las anteriores para ahorrar cálculos de determinantes.

Para el caso $A = -18$, hemos obtenido: - $\text{rango}(M) = 2$ - $\text{rango}(M^*) = 2$ - Número de incógnitas = 3 Como $\text{rango}(M) = \text{rango}(M^*) \lt \text{nº incógnitas}$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es compatible pero tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } A \neq -18: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } A = -18: \text{ Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$