Área limitada por una recta y una parábola

Para delimitar el recinto y conocer los límites de integración, primero debemos hallar los puntos en los que se interceptan la recta $y = x + 2$ y la parábola $y = x^2$. Igualamos ambas expresiones: $$x^2 = x + 2$$ Reordenamos para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos soluciones para $x$: - $x_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{-2}{2} = -1$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en cualquiera de las funciones: - Si $x = 2 \implies y = 2^2 = 4 \implies \mathbf{P_1(2, 4)}$ - Si $x = -1 \implies y = (-1)^2 = 1 \implies \mathbf{P_2(-1, 1)}$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte de dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ son las raíces de la ecuación $f(x) - g(x) = 0$.

Representamos la parábola $y = x^2$ (con vértice en el origen $(0,0)$ y abierta hacia arriba) y la recta $y = x + 2$ (que pasa por $(-2,0)$ y $(0,2)$). Para saber qué función queda por encima en el intervalo $(-1, 2)$, tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x = 0$: - Recta: $y = 0 + 2 = 2$ - Parábola: $y = 0^2 = 0$ Como $2 \gt 0$, la **recta está por encima de la parábola** en el recinto.

El área $A$ del recinto limitado por dos funciones en un intervalo $[a, b]$ se calcula como la integral de la función superior menos la función inferior. En este caso, el intervalo es $[-1, 2]$, la función superior es $y = x + 2$ y la inferior es $y = x^2$: $$A = \int_{-1}^{2} \left[ (x + 2) - x^2 \right] dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al calcular la integral obtienes un valor negativo, es posible que hayas intercambiado el orden de las funciones (superior/inferior).

Calculamos primero la primitiva de la función: $$\int (x + 2 - x^2) dx = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $2$ y $-1$: $$A = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$$ Evaluamos en $x = 2$: $$F(2) = \frac{2^2}{2} + 2(2) - \frac{2^3}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18-8}{3} = \frac{10}{3}$$ Evaluamos en $x = -1$: $$F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{2} - 2 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}$$ $$F(-1) = \frac{3 - 12 + 2}{6} = -\frac{7}{6}$$ Calculamos la diferencia: $$A = F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$$ $$A = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = 4.5$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 4.5 \text{ unidades}^2}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.