Derivadas y extremos de una función exponencial

Para calcular la primera derivada de $f(x) = x^2e^{-4x}$, aplicamos la **regla del producto** y la **regla de la cadena** para la función exponencial. Sea $u(x) = x^2$ y $v(x) = e^{-4x}$: - $u'(x) = 2x$ - $v'(x) = e^{-4x} \cdot (-4) = -4e^{-4x}$ Aplicando $(uv)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = (2x) \cdot e^{-4x} + x^2 \cdot (-4e^{-4x})$$ $$f'(x) = 2xe^{-4x} - 4x^2e^{-4x}$$ Factorizamos $2xe^{-4x}$ para simplificar la expresión: $$f'(x) = 2x(1 - 2x)e^{-4x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{g(x)}$ es $g'(x)e^{g(x)}$. En este caso, la derivada de $-4x$ es $-4$. $$\boxed{f'(x) = (2x - 4x^2)e^{-4x}}$$

Partimos de $f'(x) = (2x - 4x^2)e^{-4x}$ y derivamos de nuevo usando la regla del producto: Sea $u(x) = 2x - 4x^2$ y $v(x) = e^{-4x}$: - $u'(x) = 2 - 8x$ - $v'(x) = -4e^{-4x}$ $$f''(x) = (2 - 8x)e^{-4x} + (2x - 4x^2)(-4e^{-4x})$$ $$f''(x) = e^{-4x} [2 - 8x - 4(2x - 4x^2)]$$ $$f''(x) = e^{-4x} [2 - 8x - 8x + 16x^2]$$ $$f''(x) = (16x^2 - 16x + 2)e^{-4x}$$ Podemos simplificar factorizando un $2$: $$f''(x) = 2(8x^2 - 8x + 1)e^{-4x}$$ $$\boxed{f''(x) = (16x^2 - 16x + 2)e^{-4x}}$$

Para hallar los máximos y mínimos, buscamos los puntos donde la primera derivada es cero ($f'(x) = 0$): $$2x(1 - 2x)e^{-4x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-4x}$ nunca es cero ($e^{-4x} \gt 0$ para todo $x$), la ecuación se reduce a: $$2x(1 - 2x) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $2x = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2} = 0,5$ Estos son nuestros candidatos a extremos relativos.

Analizamos el signo de $f'(x) = 2x(1 - 2x)e^{-4x}$ en los intervalos definidos por los puntos críticos. Dado que $e^{-4x} \gt 0$, el signo depende solo de $2x(1 - 2x)$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 0.5) & 0.5 & (0.5, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$: Tomamos $x = -1 \implies f'(-1) = 2(-1)(1+2)e^4 \lt 0$ (Decreciente). - En $(0, 0.5)$: Tomamos $x = 0.25 \implies f'(0.25) = 2(0.25)(1-0.5)e^{-1} \gt 0$ (Creciente). - En $(0.5, +\infty)$: Tomamos $x = 1 \implies f'(1) = 2(1)(1-2)e^{-4} \lt 0$ (Decreciente). 💡 **Tip:** Un mínimo relativo ocurre donde la función pasa de decrecer a crecer ($f'$ cambia de $-$ a $+$). Un máximo relativo ocurre donde pasa de crecer a decrecer ($f'$ cambia de $+$ a $-$).

Calculamos el valor de la función $f(x) = x^2e^{-4x}$ en los puntos hallados: **Para el mínimo en $x = 0$:** $$f(0) = 0^2 \cdot e^{-4(0)} = 0 \cdot 1 = 0$$ El mínimo relativo se encuentra en el punto **$(0, 0)$**. **Para el máximo en $x = 0.5$:** $$f(0.5) = (0.5)^2 \cdot e^{-4(0.5)} = 0.25 \cdot e^{-2} = \frac{1}{4e^2}$$ El máximo relativo se encuentra en el punto **$(0.5, \frac{1}{4e^2})$**. ✅ **Resultados finales:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo: } (0, 0)}$$ $$\boxed{\text{Máximo relativo: } \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4e^2}\right)}$$