Alineación de puntos y cálculo del plano

**¿Están alineados? En caso afirmativo hallar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo calcular el plano que los contiene.** Para determinar si tres puntos $A$, $B$ y $C$ están alineados, primero calculamos los vectores que se forman entre ellos. Si los vectores son proporcionales, los puntos estarán sobre la misma recta. Calculamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 1) = (1, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1 - 0, -1 - 0, 2 - 1) = (-1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** Un vector entre dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ se calcula restando sus coordenadas: $\vec{PQ} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Dos vectores son proporcionales si existe un número real $k$ tal que $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC}$. Esto equivale a que sus componentes sean proporcionales: $$\frac{1}{-1} = \frac{1}{-1} \neq \frac{0}{1}$$ Como las razones no son iguales (especialmente la tercera componente, donde $0 \neq 1$), los vectores **no son proporcionales**. Conclusión: **Los puntos $A$, $B$ y $C$ no están alineados.** Al no estar alineados, definen un único plano. Procederemos a calcular la ecuación de dicho plano utilizando el punto $A$ y los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ como vectores directores.

Para hallar la ecuación general del plano, necesitamos un vector normal $\vec{n}$, que obtenemos mediante el producto vectorial de los vectores directores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{n} = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(1 - 0) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(-1 - (-1))$$ $$\vec{n} = 1\vec{i} - 1\vec{j} + 0\vec{k} = (1, -1, 0)$$ El vector normal al plano es **$\vec{n} = (1, -1, 0)$**. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, lo cual es ideal para encontrar el vector normal a un plano.

La ecuación general del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituimos el vector normal $\vec{n} = (1, -1, 0)$: $$1 \cdot x - 1 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0 \implies x - y + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $A(0, 0, 1)$ en la ecuación: $$0 - 0 + D = 0 \implies D = 0$$ Por tanto, la ecuación del plano que contiene a los tres puntos es: $$\boxed{x - y = 0}$$ 💡 **Tip:** También puedes usar la ecuación determinativa directamente: $$\begin{vmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ v_{1x} & v_{1y} & v_{1z} \\ v_{2x} & v_{2y} & v_{2z} \end{vmatrix} = 0$$