Determinante de una potencia de matriz

Para resolver el problema, primero calculamos el determinante de la matriz dada $A(a)$: $$|A(a)| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Como la matriz tiene varios ceros en la primera fila, desarrollamos el determinante por los elementos de dicha fila: $$|A(a)| = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A(a)| = 1 \cdot (a \cdot 1 - 0 \cdot 1) = a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es simplemente el producto de los elementos de su diagonal principal. En este caso, al ser una matriz triangular inferior, $|A(a)| = 1 \cdot a \cdot 1 = a$. $$\boxed{|A(a)| = a}$$

El enunciado nos pide hallar $a$ para que $|A(a)^2| = 4$. Aplicamos la propiedad de los determinantes que relaciona la potencia de una matriz con su determinante: $$|M^n| = (|M|)^n$$ En nuestro caso, para $n=2$: $$|A(a)^2| = (|A(a)|)^2$$ Sustituyendo el valor obtenido en el paso anterior ($|A(a)| = a$): $$|A(a)^2| = a^2$$ 💡 **Tip:** Otra propiedad equivalente es que el determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes: $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$. Por tanto, $|A^2| = |A \cdot A| = |A| \cdot |A| = |A|^2$.

Igualamos el resultado obtenido al valor dado en el enunciado: $$a^2 = 4$$ Para resolver esta ecuación de segundo grado, calculamos la raíz cuadrada en ambos miembros: $$a = \pm \sqrt{4}$$ $$a = \pm 2$$ Esto nos da dos posibles soluciones para el parámetro $a$: **$a_1 = 2$** y **$a_2 = -2$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2, \quad a = -2}$$