Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen: - $C_1$: Elegir la primera caja. - $C_2$: Elegir la segunda caja. - $C_3$: Elegir la tercera caja. - $R$: Sacar un botón de color rojo. - $\bar{R}$: Sacar un botón que no sea rojo. Como elegimos una caja al azar entre tres, la probabilidad de elegir cada caja es: $$P(C_1) = P(C_2) = P(C_3) = \frac{1}{3}$$ Analizamos la composición de cada caja para obtener las probabilidades condicionadas: - Caja 1: 3 botones (1 rojo, 2 no rojos) $\implies P(R|C_1) = \frac{1}{3}$ - Caja 2: 5 botones (1 rojo, 4 no rojos) $\implies P(R|C_2) = \frac{1}{5}$ - Caja 3: 4 botones (1 rojo, 3 no rojos) $\implies P(R|C_3) = \frac{1}{4}$ Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un botón rojo?** Para calcular la probabilidad de que el botón extraído sea rojo, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(R) = P(C_1) \cdot P(R|C_1) + P(C_2) \cdot P(R|C_2) + P(C_3) \cdot P(R|C_3)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(R) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \right)$$ $$P(R) = \frac{1}{9} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores ($9, 15, 12$), que es $180$: $$P(R) = \frac{20}{180} + \frac{12}{180} + \frac{15}{180} = \frac{47}{180}$$ Realizando la división: $$P(R) \approx 0.2611$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de la Probabilidad Total suma los caminos que terminan en el suceso deseado (Rojo en este caso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = \frac{47}{180} \approx 0.2611}$$

**b) Si he sacado un botón rojo, ¿cuál es la probabilidad de pertenezca a la primera caja?** Este apartado nos pide calcular la probabilidad de que la caja elegida haya sido la primera sabiendo que el botón es rojo. Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C_1|R) = \frac{P(C_1 \cap R)}{P(R)} = \frac{P(C_1) \cdot P(R|C_1)}{P(R)}$$ Utilizamos el valor de la intersección calculado en el árbol y la probabilidad total del apartado anterior: $$P(C_1|R) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{47}{180}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{47}{180}}$$ Para resolver esta división de fracciones, multiplicamos en cruz: $$P(C_1|R) = \frac{1 \cdot 180}{9 \cdot 47} = \frac{180}{423}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador entre 9: $$P(C_1|R) = \frac{20}{47} \approx 0.4255$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la probabilidad condicionada. En el numerador va la probabilidad del camino específico que nos interesa y en el denominador la probabilidad total del suceso que ya ha ocurrido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C_1|R) = \frac{20}{47} \approx 0.4255}$$