Integral por partes de una función polinómico-exponencial

Para resolver la integral $\int xe^{-4x}dx$ observamos que el integrando es el producto de una función polinómica, $x$, por una función exponencial, $e^{-4x}$. Este tipo de estructuras se resuelven habitualmente mediante el método de **integración por partes**, que permite transformar la integral de un producto en una expresión más sencilla. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla útil para elegir $u$ es la regla **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Potencias/Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos), donde la primera función de la lista que aparezca en la integral será nuestra $u$.

Siguiendo la regla ALPES, elegimos el polinomio como $u$ y el resto del integrando como $dv$: 1. **Elegimos $u$ y derivamos:** $$u = x \implies du = dx$$ 2. **Elegimos $dv$ e integramos para hallar $v$:** $$dv = e^{-4x}dx \implies v = \int e^{-4x}dx$$ Para calcular $v$, realizamos la integral de la exponencial. Como la derivada del exponente ($-4x$) es $-4$, ajustamos la constante: $$v = -\frac{1}{4}e^{-4x}$$ $$\boxed{u=x, \quad du=dx, \quad dv=e^{-4x}dx, \quad v=-\frac{1}{4}e^{-4x}}$$

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int xe^{-4x}dx = x \left( -\frac{1}{4}e^{-4x} \right) - \int \left( -\frac{1}{4}e^{-4x} \right) dx$$ Simplificamos la expresión extrayendo las constantes fuera de la integral: $$\int xe^{-4x}dx = -\frac{x}{4}e^{-4x} + \frac{1}{4} \int e^{-4x}dx$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con el doble signo negativo al aplicar la fórmula; es un error muy común en los exámenes.

Calculamos la última integral, que es idéntica a la que hicimos para hallar $v$: $$\int e^{-4x}dx = -\frac{1}{4}e^{-4x}$$ Sustituyendo este resultado en la expresión anterior: $$\int xe^{-4x}dx = -\frac{x}{4}e^{-4x} + \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{4}e^{-4x} \right) + C$$ $$\int xe^{-4x}dx = -\frac{x}{4}e^{-4x} - \frac{1}{16}e^{-4x} + C$$ Para presentar el resultado de forma más elegante, podemos extraer factor común: $$\int xe^{-4x}dx = -\frac{1}{4}e^{-4x} \left( x + \frac{1}{4} \right) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-\frac{4x+1}{16}e^{-4x} + C}$$