Rectas tangentes a una parábola desde un punto exterior

Para encontrar las rectas tangentes que pasan por un punto exterior $P(6, 0)$, primero debemos considerar un punto genérico de tangencia sobre la gráfica de la función, al que llamaremos $Q(a, f(a))$. Como $f(x) = x^2+64$, las coordenadas del punto de tangencia son: $$Q(a, a^2+64)$$ La pendiente de la recta tangente en cualquier punto $x=a$ viene dada por la derivada de la función evaluada en ese punto, $f'(a)$. Calculamos la derivada: $$f'(x) = 2x \implies m = f'(a) = 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica en dicho punto.

Utilizamos la forma punto-pendiente de la recta para el punto $Q(a, a^2+64)$ con pendiente $m = 2a$: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ $$y - (a^2+64) = 2a(x - a)$$ Como el enunciado indica que la recta debe pasar por el punto exterior $P(6, 0)$, sustituimos $x=6$ e $y=0$ en la ecuación anterior para hallar los posibles valores de $a$: $$0 - (a^2+64) = 2a(6 - a)$$ 💡 **Tip:** Cuando una recta pasa por un punto, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de dicha recta.

Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: $$-a^2 - 64 = 12a - 2a^2$$ Agrupamos todos los términos en un lado de la igualdad: $$2a^2 - a^2 - 12a - 64 = 0$$ $$a^2 - 12a - 64 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$a = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(-64)}}{2(1)}$$ $$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 256}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{12 \pm 20}{2}$$ Obtenemos dos valores para $a$: 1. $a_1 = \frac{12 + 20}{2} = \frac{32}{2} = 16$ 2. $a_2 = \frac{12 - 20}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ Existen dos puntos de tangencia, lo que significa que habrá **dos rectas tangentes**.

Ahora calculamos la ecuación de cada recta sustituyendo los valores de $a$ en la pendiente $m=2a$ y usando el punto $P(6, 0)$: **Para $a_1 = 16$:** Pendiente: $m_1 = 2(16) = 32$ Ecuación: $y - 0 = 32(x - 6) \implies y = 32x - 192$ **Para $a_2 = -4$:** Pendiente: $m_2 = 2(-4) = -8$ Ecuación: $y - 0 = -8(x - 6) \implies y = -8x + 48$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r_1: y = 32x - 192, \quad r_2: y = -8x + 48}$$