Paralelismo y perpendicularidad entre recta y plano

**a) ¿Existe algún valor de $A$ para que el plano sea paralelo a $r$?** Para trabajar con la posición relativa, primero necesitamos el vector director de la recta $r$, $\vec{v}_r$. Como la recta viene dada por la intersección de dos planos, su vector director es el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (4, -3, 4), \quad \vec{n}_2 = (3, -2, 1)$$ Calculamos el producto vectorial mediante un determinante: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-3 \cdot 1 - (-2) \cdot 4) - \vec{j}(4 \cdot 1 - 3 \cdot 4) + \vec{k}(4 \cdot (-2) - 3 \cdot (-3))$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(-3 + 8) - \vec{j}(4 - 12) + \vec{k}(-8 + 9)$$ $$\vec{v}_r = 5\vec{i} + 8\vec{j} + 1\vec{k} = (5, 8, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta expresada como intersección de planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial.

Para que un plano sea paralelo a una recta, el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r$. Esto implica que su producto escalar debe ser cero. Datos: - Vector normal del plano $\pi$: $\vec{n}_\pi = (1, -1, A)$ - Vector director de la recta $r$: $\vec{v}_r = (5, 8, 1)$ Planteamos la ecuación: $$\vec{n}_\pi \cdot \vec{v}_r = 0 \implies (1, -1, A) \cdot (5, 8, 1) = 0$$ $$1(5) + (-1)(8) + A(1) = 0$$ $$5 - 8 + A = 0 \implies A - 3 = 0$$ $$\boxed{A = 3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el producto escalar es cero, la recta puede ser paralela al plano o estar contenida en él. Debemos comprobar que no esté contenida.

Para asegurar que la recta es paralela y no está contenida en el plano para $A=3$, tomamos un punto $P$ de la recta $r$ y comprobamos que no pertenece al plano. Buscamos un punto de $r$ dando un valor a $z$, por ejemplo $z=0$: $$\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $y = 1.5x$. Sustituimos en la primera: $$4x - 3(1.5x) = 1 \implies 4x - 4.5x = 1 \implies -0.5x = 1 \implies x = -2$$ Si $x = -2$, entonces $y = -3$. El punto es $P(-2, -3, 0)$. Sustituimos $P$ en el plano $\pi$ con $A=3$: $$-2 - (-3) + 3(0) = -2 + 3 = 1 \neq 0$$ Como $P \notin \pi$, la recta es **estrictamente paralela**. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\text{Existe el valor } A = 3}$$

**b) Encontrar el plano perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $(0, 0, 0)$.** Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ coincide con el vector normal del plano $\vec{n}_\sigma$. Usamos el vector hallado anteriormente: $\vec{n}_\sigma = \vec{v}_r = (5, 8, 1)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$5x + 8y + z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por el origen $O(0, 0, 0)$: $$5(0) + 8(0) + 0 + D = 0 \implies D = 0$$ 💡 **Tip:** Todo plano que pasa por el origen tiene su término independiente $D$ igual a cero. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{5x + 8y + z = 0}$$