Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

Para discutir el sistema según los valores del parámetro $m$, primero lo expresamos en forma matricial $A \cdot X = B$. La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son: $$A = \begin{pmatrix} m+3 & m & m \\ 3 & 0 & m \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} m+3 & m & m & | & m-1 \\ 3 & 0 & m & | & m-2 \\ 0 & -1 & 1 & | & m-3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite determinar la compatibilidad del sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes $A$ y el de la matriz ampliada $A^*$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para hallar los valores críticos de $m$ que hacen que el rango sea menor que 3. $$|A| = \begin{vmatrix} m+3 & m & m \\ 3 & 0 & m \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [(m+3) \cdot 0 \cdot 1] + [m \cdot m \cdot 0] + [3 \cdot (-1) \cdot m] - [0 \cdot 0 \cdot m] - [(-1) \cdot m \cdot (m+3)] - [3 \cdot m \cdot 1]$$ $$|A| = 0 + 0 - 3m - 0 + (m^2 + 3m) - 3m = m^2 - 3m$$ Igualamos a cero para encontrar los valores singulares: $$m^2 - 3m = 0 \implies m(m - 3) = 0$$ Los valores a estudiar son **$m = 0$** y **$m = 3$**. $$\boxed{|A| = m(m-3)}$$

Si $m \neq 0$ y $m \neq 3$, el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 ni menor que el de $A$) - Número de incógnitas $= 3$ Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una única solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, 3: \text{ Sistema Compatible Determinado}}$$

Si $m = 0$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & | & -1 \\ 3 & 0 & 0 & | & -2 \\ 0 & -1 & 1 & | & -3 \end{pmatrix}$$ - **Rango de A:** El determinante $|A| = 0$. Observamos que la fila 1 y la fila 2 son iguales, y existe un menor de orden 2 distinto de cero: $\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$. Por tanto, $\text{rg}(A) = 2$. - **Rango de A\*:** Estudiamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 0 + 0 + 3 - (0 + 6 + 0) = -3 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0: \text{ Sistema Incompatible}}$$

Si $m = 3$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 & | & 2 \\ 3 & 0 & 3 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$$ - **Rango de A:** El determinante $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$. Por tanto, $\text{rg}(A) = 2$. - **Rango de A\*:** Comprobamos si los menores de orden 3 son nulos: $$\begin{vmatrix} 3 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 3 + 0 - (-6 + 3 + 0) = -3 + 3 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que contienen a $A$ son cero, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt \text{número de incógnitas} (3)$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 3: \text{ Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Para resolver el sistema cuando $m = 3$, utilizamos las dos ecuaciones linealmente independientes (aquellas que formaban el menor de orden 2 no nulo): $$S' = \begin{cases} 3x + 3z = 1 \\ -y + z = 0 \end{cases}$$ Tomamos $z$ como parámetro, sea **$z = \lambda$**. 1. De la segunda ecuación: $$-y + \lambda = 0 \implies y = \lambda$$ 2. De la primera ecuación: $$3x + 3\lambda = 1 \implies 3x = 1 - 3\lambda \implies x = \frac{1}{3} - \lambda$$ La solución general es una recta de puntos en $\mathbb{R}^3$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{1}{3} - \lambda, \lambda, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$