Intersección de funciones y cálculo de área

Para encontrar los puntos de corte entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, igualamos ambas expresiones: $$f(x) = g(x) \implies 5 - x = \frac{2}{x - 2}$$ Multiplicamos toda la ecuación por $(x - 2)$ para eliminar el denominador (considerando que $x \neq 2$): $$(5 - x)(x - 2) = 2$$ $$5x - 10 - x^2 + 2x = 2$$ $$-x^2 + 7x - 12 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar la resolución: $$x^2 - 7x + 12 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos valores para $x$: - $x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4$ - $x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3$ Ahora calculamos las coordenadas $y$ sustituyendo en $f(x) = 5 - x$: - Si $x = 3 \implies y = 5 - 3 = 2 \implies P_1(3, 2)$ - Si $x = 4 \implies y = 5 - 4 = 1 \implies P_2(4, 1)$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los puntos en ambas funciones para asegurar que el cálculo es correcto. En $g(x)$: $g(3) = 2/(3-2) = 2$ y $g(4) = 2/(4-2) = 1$. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{(3, 2) \text{ y } (4, 1)}$$

El área encerrada entre las dos gráficas viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones entre los puntos de corte $x=3$ y $x=4$. Primero, determinamos qué función está por encima en el intervalo $(3, 4)$. Tomamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 3.5$: - $f(3.5) = 5 - 3.5 = 1.5$ - $g(3.5) = \frac{2}{3.5 - 2} = \frac{2}{1.5} = \frac{4}{3} \approx 1.33$ Como $f(3.5) \gt g(3.5)$, la función $f(x)$ está por encima de $g(x)$ en el intervalo considerado. El área $A$ se define como: $$A = \int_{3}^{4} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{3}^{4} \left( 5 - x - \frac{2}{x - 2} \right) dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si al calcular la integral el resultado es negativo, significa que hemos restado las funciones en el orden inverso.

Calculamos la primitiva de la función diferencia: $$H(x) = \int \left( 5 - x - \frac{2}{x - 2} \right) dx$$ Aplicamos la linealidad de la integral y resolvemos cada término: - $\int 5 \, dx = 5x$ - $\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ - $\int \frac{2}{x - 2} \, dx = 2 \ln |x - 2|$ Por tanto: $$H(x) = 5x - \frac{x^2}{2} - 2 \ln |x - 2| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una función del tipo $\frac{1}{x-a}$ es $\ln|x-a|$.

Aplicamos la Regla de Barrow entre los límites $x=3$ y $x=4$: $$A = \left[ 5x - \frac{x^2}{2} - 2 \ln |x - 2| \right]_{3}^{4}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=4$): $$H(4) = 5(4) - \frac{4^2}{2} - 2 \ln |4 - 2| = 20 - 8 - 2 \ln 2 = 12 - 2 \ln 2$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=3$): $$H(3) = 5(3) - \frac{3^2}{2} - 2 \ln |3 - 2| = 15 - \frac{9}{2} - 2 \ln 1 = 15 - 4.5 - 0 = 10.5$$ Calculamos la diferencia: $$A = (12 - 2 \ln 2) - 10.5 = 1.5 - 2 \ln 2$$ Si queremos una aproximación numérica (opcional): $$A \approx 1.5 - 2(0.6931) = 1.5 - 1.3862 = 0.1138 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{3}{2} - 2 \ln 2 \approx 0.1138 \text{ unidades de área}}$$