Aplicación del Teorema de Bolzano

Para demostrar que existe una raíz $\alpha$ en el intervalo abierto $(1, 3)$ tal que $f(\alpha)=0$, utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. **Teorema de Bolzano:** Sea $g(x)$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. Si los signos de la función en los extremos son distintos ($g(a) \cdot g(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$. Para aplicar este teorema a nuestra función $f(x)$ en el intervalo $[1, 3]$, debemos verificar: 1. Que $f(x)$ es **continua** en $[1, 3]$. 2. Que $f(1)$ y $f(3)$ tienen **signos opuestos**. 💡 **Tip:** Siempre que te pidan demostrar la existencia de una solución a una ecuación del tipo $f(x)=0$ en un intervalo, el Teorema de Bolzano es tu herramienta principal.

Analizamos el dominio de $f(x) = \dfrac{\ln [x - 1 + \sin^2 (\frac{\pi x}{4})]}{4x - x^2}$ en el intervalo $[1, 3]$: 1. **Denominador:** $4x - x^2 = x(4 - x)$. Se anula en $x = 0$ y $x = 4$. Ninguno de estos valores pertenece al intervalo $[1, 3]$, por lo que el denominador no se anula. 2. **Argumento del logaritmo:** Para que el logaritmo exista, su argumento debe ser estrictamente positivo: $x - 1 + \sin^2 (\frac{\pi x}{4}) \gt 0$. - En el intervalo $[1, 3]$, el término $x - 1$ varía entre $0$ y $2$ ($x-1 \ge 0$). - El término $\sin^2 (\frac{\pi x}{4})$ es siempre $\ge 0$. - En $x = 1$, el argumento es $1 - 1 + \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 0 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0.5 \gt 0$. - Como ambos términos son no negativos y su suma es positiva en todo el intervalo, el logaritmo está bien definido. Al ser composición y cociente de funciones continuas (polinomios, trigonométricas y logarítmicas) donde el denominador no es cero y el logaritmo está definido, **$f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[1, 3]$**. 💡 **Tip:** Justificar la continuidad es un paso obligatorio. Debes explicar por qué no hay asíntotas verticales ni valores prohibidos dentro del intervalo de estudio.

Calculamos el valor de la función en $x = 1$ y $x = 3$: **Para $x = 1$:** $$f(1) = \frac{\ln [1 - 1 + \sin^2 (\frac{\pi}{4})]}{4(1) - 1^2} = \frac{\ln [\sin^2 (\frac{\pi}{4})]}{3} = \frac{\ln [(\frac{\sqrt{2}}{2})^2]}{3} = \frac{\ln(\frac{1}{2})}{3}$$ Como $\ln(0.5) \approx -0.693$, entonces **$f(1) \lt 0$**. **Para $x = 3$:** $$f(3) = \frac{\ln [3 - 1 + \sin^2 (\frac{3\pi}{4})]}{4(3) - 3^2} = \frac{\ln [2 + \sin^2 (\frac{3\pi}{4})]}{12 - 9} = \frac{\ln [2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2]}{3} = \frac{\ln(2.5)}{3}$$ Como $\ln(2.5) \approx 0.916$, entonces **$f(3) \gt 0$**. Observamos que $f(1) \lt 0$ y $f(3) \gt 0$, por lo tanto, la función cambia de signo en el intervalo. $$\boxed{f(1) \approx -0.231 \lt 0, \quad f(3) \approx 0.305 \gt 0}$$

Dado que: 1. $f(x)$ es continua en $[1, 3]$. 2. $f(1) \cdot f(3) \lt 0$. Según el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f(\alpha) = 0$. Esto demuestra la existencia del punto solicitado en el enunciado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\exists \alpha \in (1, 3) \text{ tal que } f(\alpha) = 0}$$