Centro de un cubo a partir de tres vértices

Sean los puntos $P(1, -1, 1)$, $Q(5, -3, 5)$ y $R(7, -7, 1)$. Primero, determinamos los vectores que forman para entender su posición en la cara del cubo: $$\vec{PQ} = Q - P = (5-1, -3-(-1), 5-1) = (4, -2, 4)$$ $$\vec{QR} = R - Q = (7-5, -7-(-3), 1-5) = (2, -4, -4)$$ Calculamos sus módulos para hallar la arista del cubo ($a$): $$|\vec{PQ}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$$ $$|\vec{QR}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$$ Comprobamos si son perpendiculares mediante el producto escalar: $$\vec{PQ} \cdot \vec{QR} = (4)(2) + (-2)(-4) + (4)(-4) = 8 + 8 - 16 = 0$$ Como $|\vec{PQ}| = |\vec{QR}| = 6$ y son perpendiculares, $Q$ es el vértice común de dos aristas de una cara cuadrada de lado **$a = 6$**. Los puntos $P$ y $R$ son, por tanto, vértices opuestos de esa cara (forman una diagonal). 💡 **Tip:** En un cubo, todas las aristas miden lo mismo y son perpendiculares entre sí en cada vértice.

El centro de la cara (llamémoslo $M$) es el punto medio de la diagonal formada por los vértices opuestos $P$ y $R$: $$M = \frac{P + R}{2} = \left( \frac{1 + 7}{2}, \frac{-1 - 7}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (4, -4, 1)$$ 💡 **Tip:** El centro de un cuadrado siempre coincide con el punto medio de sus diagonales. $$\boxed{M(4, -4, 1)}$$

Para encontrar el centro del cubo ($C$), debemos desplazarnos desde el centro de la cara ($M$) en dirección perpendicular a dicha cara. Buscamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial de las aristas: $$\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{QR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -2 & 4 \\ 2 & -4 & -4 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{n} = \mathbf{i}(8 - (-16)) - \mathbf{j}(-16 - 8) + \mathbf{k}(-16 - (-4))$$ $$\vec{n} = 24\mathbf{i} + 24\mathbf{j} - 12\mathbf{k} = (24, 24, -12)$$ Para facilitar los cálculos, usamos un vector director proporcional más sencillo: $$\vec{v} = (2, 2, -1)$$ El módulo de este vector es $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.

El centro del cubo $C$ se encuentra a una distancia de media arista ($a/2$) del centro de la cara $M$ en la dirección del vector normal unitario. Como la arista es $a = 6$, la distancia es $d = 3$. El vector desplazamiento será: $$\vec{MC} = \pm \frac{d}{|\vec{v}|} \vec{v} = \pm \frac{3}{3} (2, 2, -1) = \pm (2, 2, -1)$$ Existen dos posibles centros (uno a cada lado de la cara): 1. **Primer posible centro ($C_1$):** $$C_1 = M + (2, 2, -1) = (4+2, -4+2, 1-1) = (6, -2, 0)$$ 2. **Segundo posible centro ($C_2$):** $$C_2 = M - (2, 2, -1) = (4-2, -4-2, 1+1) = (2, -6, 2)$$ 💡 **Tip:** Un vector normal a una cara nos indica la dirección hacia el interior (o exterior) del cubo. Como no nos especifican la orientación, ambas soluciones son válidas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{C_1(6, -2, 0) \quad y \quad C_2(2, -6, 2)}$$