Ecuación matricial y potencias de matrices

**B1) Resuelve la ecuación matricial $X \cdot A^{35} = A^{25}$ teniendo en cuenta que $A$ es la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$** En ejercicios donde aparecen potencias muy elevadas de una matriz, lo habitual es buscar un patrón o comprobar si la matriz es cíclica (es decir, si alguna potencia es igual a la identidad $I$). Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(-1)(1) & (-1)(-1)+(-1)(0) \\ (1)(-1)+(0)(1) & (1)(-1)+(0)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(-1)+(1)(1) & (0)(-1)+(1)(0) \\ (-1)(-1)+(-1)(1) & (-1)(-1)+(-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ 💡 **Tip:** Si $A^n = I$, la matriz es periódica de periodo $n$. Esto simplifica enormemente el cálculo de potencias altas dividiendo el exponente entre $n$. $$\boxed{A^3 = I}$$

Utilizando que $A^3 = I$, reducimos los exponentes 35 y 25 dividiéndolos por 3: Para $A^{35}$: $35 = 3 \cdot 11 + 2$, por lo tanto: $$A^{35} = (A^3)^{11} \cdot A^2 = I^{11} \cdot A^2 = I \cdot A^2 = A^2$$ Para $A^{25}$: $25 = 3 \cdot 8 + 1$, por lo tanto: $$A^{25} = (A^3)^8 \cdot A^1 = I^8 \cdot A = I \cdot A = A$$ Sustituimos estos resultados en la ecuación original $X \cdot A^{35} = A^{25}$: $$\boxed{X \cdot A^2 = A}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $I^n = I$ para cualquier $n$ y que $I \cdot M = M$ para cualquier matriz $M$ compatible.

Para despejar $X$ en la ecuación $X \cdot A^2 = A$, debemos multiplicar por la derecha por la inversa de $A^2$, es decir, $(A^2)^{-1}$. Primero, comprobamos que $A$ es invertible calculando su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1)(0) - (-1)(1) = 1 \neq 0$$ Como $|A| \neq 0$, $A$ es invertible y, en consecuencia, $A^2$ y $A^3$ también lo son. Despejamos $X$: $$X \cdot A^2 \cdot (A^2)^{-1} = A \cdot (A^2)^{-1} \implies X = A \cdot (A^2)^{-1}$$ Como sabemos que $A \cdot A^2 = A^3 = I$, por la definición de matriz inversa se deduce que **la inversa de $A^2$ es $A$**: $$(A^2)^{-1} = A$$ Por lo tanto: $$X = A \cdot A = A^2$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicas por la derecha en un miembro, debes hacerlo por la derecha en el otro.

Ya hemos calculado $A^2$ en el primer paso del ejercicio: $$X = A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Comprobación rápida: $X \cdot A^{35} = A^2 \cdot A^2 = A^4 = A^3 \cdot A = I \cdot A = A$. Como $A^{25} = A$, la solución es correcta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$